Какое максимальное значение принимает функция y = √(-75-28х-х^2)?

Liya

31

Для начала давайте разберемся, как найти максимальное значение функции \(y = \sqrt{-75-28x-x^2}\).

Функция \(y\) состоит из квадратного корня выражения \(-75-28x-x^2\), где \(x\) - это переменная. Чтобы найти максимальное значение этой функции, нам нужно найти точку, где производная функции равна нулю.

Для этого нам необходимо проделать несколько шагов:

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\).
Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение, чтобы найти значения \(x\), в которых производная равна нулю.
Шаг 3: Подставим найденные значения \(x\) обратно в исходное выражение функции \(y\), чтобы найти соответствующие значения \(y\).
Шаг 4: Сравним полученные значения \(y\) и найдем максимальное из них.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\).

Используя правило дифференцирования для квадратного корня, мы получим:

\[
y" = \frac{1}{2\sqrt{-75-28x-x^2}} \cdot (-28 - 2x)
\]

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение.

\[
\frac{1}{2\sqrt{-75-28x-x^2}} \cdot (-28 - 2x) = 0
\]

Умножим обе части уравнения на \(2\sqrt{-75-28x-x^2}\):

\[
-28 - 2x = 0
\]

Прибавим \(28\) к обеим сторонам уравнения:

\[
-2x = 28
\]

Разделим обе части уравнения на \(-2\):

\[
x = -14
\]

Таким образом, мы находим, что при \(x = -14\) производная \(y"\) функции равна нулю.

Шаг 3: Подставим найденное значение \(x = -14\) обратно в исходное выражение функции \(y\), чтобы найти соответствующее значение \(y\).

\[
y = \sqrt{-75-28 \cdot (-14) - (-14)^2}
\]

Выполним вычисления:

\[
y = \sqrt{-75 + 392 - 196}
\]

\[
y = \sqrt{121}
\]

\[
y = 11
\]

Мы получили \(y = 11\) при \(x = -14\).

Шаг 4: Теперь сравним полученное значение \(y\) и найдем максимальное из них.

Максимальное значение функции \(y = \sqrt{-75-28x-x^2}\) равно 11, которое достигается при \(x = -14\).

Итак, максимальное значение функции равно 11.