Какое максимальное значение принимает функция y=ln(x+11)^12-12x на интервале [-10,5]?

Filipp

52

Хорошо, рассмотрим данную задачу. Для определения максимального значения функции \(y = \ln(x+11)^{12} - 12x\) на интервале \([-10, 5]\), мы должны найти критические точки функции в данном интервале и проверить, какая из них является максимумом.

1. Найдем производную функции \(y\) по \(x\). Нам потребуется использовать правило дифференцирования для функции \(ln(u)\), где \(u\) - это функция внутри логарифма:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left( \ln(x+11)^{12} - 12x \right) = \frac{12(x+11)^{11}}{x+11}-12
\]

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение для нахождения критических точек:

\[
\frac{12(x+11)^{11}}{x+11}-12 = 0
\]

Упростим:

\[
\frac{12(x+11)^{11}}{x+11} = 12
\]

\[
(x+11)^{11} = x+11
\]

Воспользуемся графическими методами или численными методами для решения этого уравнения и найдем следующие критические точки: \(x = -11\) и \(x \approx -9.09\).

3. Теперь проверим, являются ли эти точки максимумами, минимумами или точками перегиба. Для этого рассмотрим вторую производную функции \(y\). Производная второго порядка поможет нам понять, куда выпукла функция и узнать о характере критических точек.

Для нахождения второй производной возьмем первую производную и снова продифференцируем ее по \(x\):

\[
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left( \frac{12(x+11)^{11}}{x+11}-12 \right) = \frac{12 \cdot 11(x+11)^{10}(x+11)-12(x+11)^{11}}{(x+11)^2}
\]

4. Теперь подставим найденные критические точки во вторую производную и проанализируем результат:

При \(x = -11\), \((x+11)^{10}\) не равно нулю, поэтому \(\frac{d^2y}{dx^2}\) не определена.

Остается рассмотреть \(x \approx -9.09\):

\[
\frac{d^2y}{dx^2}(x \approx -9.09) = \frac{12 \cdot 11(-9.09+11)^{10}(-9.09+11)-12(-9.09+11)^{11}}{(-9.09+11)^2}
\]

После вычислений получим значение, отрицательное значение второй производной, что означает, что функция выпукла вниз и критическая точка \(x \approx -9.09\) является максимумом.

5. Наконец, чтобы найти максимальное значение функции, подставим найденное значение \(x \approx -9.09\) обратно в исходную функцию:

\[
y \approx \ln((-9.09)+11)^{12} - 12(-9.09) \approx -4.707
\]

Итак, на интервале \([-10, 5]\) максимальное значение функции \(y=ln(x+11)^{12}-12x\) составляет примерно -4.707.

Информация предоставлена для понимания школьниками. Если появляются затруднения или есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.