Какое минимальное целое положительное значение n, гарантирует, что An, где An - сумма ряда 7+77+777+…+7…7 (последнее

Ivanovna

41

Давайте решим данную задачу пошагово.

Чтобы выяснить, какое минимальное значение \(n\) гарантирует, что \(A_n\), сумма ряда \(7 + 77 + 777 + \ldots + 7\ldots7\), будет кратной некоторому числу, нам необходимо понять закономерность в данном ряде и выразить его сумму \(A_n\) в зависимости от \(n\).

Заметим, что каждое слагаемое в данном ряде представляет собой число, состоящее только из цифры 7. Первое слагаемое равно 7, второе слагаемое равно 77, третье слагаемое равно 777 и так далее. Мы можем заметить, что каждое последующее слагаемое можно получить, добавив к предыдущему слагаемому 7 и умножив результат на 10.

Таким образом, получаем следующее рекуррентное соотношение для \(A_n\):

\[A_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n\]

где \(a_1 = 7\), а \(a_k\) для \(k > 1\) выражается через предыдущий элемент как \(a_k = 10a_{k-1} + 7\).

Теперь мы можем выразить \(A_n\) в явном виде, используя полученную рекуррентную формулу.

Для \(n = 1\), \(A_1 = 7\).
Для \(n = 2\), \(A_2 = a_1 + a_2 = 7 + 77 = 84\).
Для \(n = 3\), \(A_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 7 + 77 + 777 = 861\).
И так далее.

Мы можем заметить, что каждое новое слагаемое \(a_k\) является суммой предыдущих слагаемых \(a_{k-1}\) и дополнительного слагаемого \(7 \times 10^{k-1}\). То есть, \(a_k = a_{k-1} + 7 \times 10^{k-1}\).

Таким образом, мы можем записать явное выражение для \(A_n\) в виде:

\[A_n = 7 + 77 + 777 + \ldots + 7\ldots7 = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n = 7 + (7 \times 10^1) + (7 \times 10^2) + \ldots + (7 \times 10^{n-1})\]

Подставим значение \(a_1 = 7\) в формулу для \(A_n\):

\[A_n = 7 \left(1 + 10 + 10^2 + \ldots + 10^{n-1}\right)\]

Сумма геометрической прогрессии \(1 + 10 + 10^2 + \ldots + 10^{n-1}\) равна \(\frac{{10^n - 1}}{{10 - 1}} = \frac{{10^n - 1}}{9}\).

Таким образом, мы можем записать \(A_n\) в следующем виде:

\[A_n = 7 \times \frac{{10^n - 1}}{9}\]

Для \(A_n\) быть кратным некоторому числу, \(\frac{{10^n - 1}}{9}\) должно быть кратно этому числу. Найдем наименьшее значение \(n\), для которого это будет выполнено.

То есть, мы должны найти наименьшее значение \(n\), для которого \(\frac{{10^n - 1}}{9}\) делится на \(M\) без остатка, где \(M\) - некоторое целое число.

Чтобы найти такое \(n\), нам нужно решить следующее уравнение:

\[\frac{{10^n - 1}}{9} \equiv 0\ (\text{mod}\ M)\]

Решение данного уравнения будет помогать нам определить минимальное значение \(n\), при котором сумма \(A_n\) будет кратна \(M\).

В зависимости от значения \(M\), минимальное значение \(n\) будет разным. Например, если \(M = 3\), то минимальное значение \(n\) будет 1. Если \(M = 9\), то минимальное значение \(n\) будет 2 и так далее.

Таким образом, минимальное положительное целое значение \(n\), гарантирующее, что \(A_n\) будет кратно некоторому числу \(M\), зависит от значения \(M\) и может быть найдено решением уравнения \(\frac{{10^n - 1}}{9} \equiv 0\ (\text{mod}\ M)\).