Какое наибольшее количество различных прямоугольников, непарно разных, можно получить путем разрезания шахматной доски

Ледяная_Сказка

13

Чтобы найти наибольшее количество различных прямоугольников, которые можно получить путем разрезания шахматной доски, сначала рассмотрим возможные прямоугольники, которые могут быть образованы на данной доске.

Для начала, доска размером 8 на 8 клеток содержит \((8 + 1) \times (8 + 1) = 81\) точку пересечения линий сетки. Эти точки будут являться вершинами прямоугольников.

Теперь рассмотрим возможные варианты выбора из этих точек для формирования прямоугольников. Мы можем выбрать две точки на вертикальных линиях сетки и две точки на горизонтальных линиях сетки, чтобы образовать прямоугольник.

Количество способов выбрать две вертикальные точки равно \(\binom{9}{2}\), где \(\binom{n}{k}\) обозначает число сочетаний k элементов из n элементов. Аналогично, количество способов выбрать две горизонтальные точки также равно \(\binom{9}{2}\).

Таким образом, общее количество различных прямоугольников, которые могут быть образованы на данной шахматной доске, равно \(\binom{9}{2} \times \binom{9}{2}\).

Для вычисления этого значения, воспользуемся формулой для числа сочетаний:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}\)

Учитывая, что \(n = 9\) и \(k = 2\), мы можем вычислить:

\(\binom{9}{2} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36\)

Полученное значение применяется дважды, поскольку мы рассматриваем отдельно вертикальные и горизонтальные точки.

Итак, наибольшее количество различных прямоугольников, которые можно получить путем разрезания шахматной доски размером 8 на 8 клеток только по линиям сетки, равно \(36 \times 36 = 1296\).