Какое минимальное количество дорог необходимо закрыть, чтобы нельзя было достичь никуда хотя бы из трех городов?

Zabludshiy_Astronavt

22

Для решения данной задачи нужно использовать понятие связности графа. Если мы хотим, чтобы нельзя было достичь никуда хотя бы из трех городов, то нужно разорвать все пути между этими городами.

Итак, пусть у нас есть n городов. Если мы не закроем ни одной дороги, то каждый город будет связан с каждым другим городом, и граф будет полностью связным. То есть, мы не можем достичь требуемого условия.

Давайте рассмотрим ситуацию, когда мы закроем одну дорогу. В таком случае, в графе возникнут две компоненты связности: одна состоящая из двух городов, соединенных закрытой дорогой, и остальные города будут составлять вторую компоненту связности. В этом случае, мы сможем достичь требуемого условия, так как из любого города первой компоненты связности не будет пути к городам второй компоненты связности.

Однако, нам требуется найти минимальное количество дорог, которые необходимо закрыть. Поэтому мы должны найти города, такие что, если мы закроем дорогу между ними, то они образуют две компоненты связности. Для этого нужно выбрать три города из n по формуле сочетания C(n, 3):

\[
C(n, 3) = \frac{{n!}}{{3!(n-3)!}} = \frac{{n(n-1)(n-2)}}{{6}}
\]

Таким образом, минимальное количество дорог, которые нужно закрыть для того, чтобы нельзя было достичь никуда хотя бы из трех городов, равно \(\frac{{n(n-1)(n-2)}}{{6}}\)