Какое минимальное количество пачек по 50 патронов Василию нужно приобрести для достижения этой цели, если каждую

Dmitriy

41

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо построить последовательность количества патронов, которое Василий будет использовать на каждой тренировке.

Мы знаем, что на первой тренировке он использует 90 патронов. На каждой последующей тренировке количество патронов увеличивается на 10 штук. Таким образом, количество патронов на каждой тренировке можно представить последовательностью арифметической прогрессии, где первый член равен 90, а разность равна 10.

Найдем количество патронов, которое Василий будет использовать на последней тренировке в конце года. Мы знаем, что количество патронов на тренировке в конце года составляет 180. Поэтому нам нужно найти количество тренировок до конца года и умножить его на 10 (разность в арифметической прогрессии), затем прибавить 90 (первый член).

Для этого воспользуемся формулой для суммы n членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\]

где \(n\) - количество членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии, \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов.

У нас известно, что последний член прогрессии равен 180. Подставим известные значения в формулу и решим ее относительно \(n\):

\[180 = \frac{n}{2}(2 \cdot 90 + (n-1) \cdot 10)\]

Упростим уравнение:

\[180 = \frac{n}{2}(180 + 10n - 10)\]
\[180 = \frac{n}{2}(10n + 170)\]
\[180 = \frac{n}{2}(n + 17)\]

Раскроем скобки:

\[180 = \frac{n^2}{2} + \frac{17n}{2}\]

Перенесем все в левую часть уравнения и упростим:

\[\frac{n^2}{2} + \frac{17n}{2} - 180 = 0\]

Уравнение является квадратным. Решим его с помощью дискриминанта.

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:
\[D = b^2 - 4ac\]

Применяя формулу дискриминанта к нашему уравнению, получим:

\[D = \left(\frac{17}{2}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-180)\]
\[D = \frac{289}{4} + 360\]
\[D = \frac{289}{4} + \frac{1440}{4}\]
\[D = \frac{1729}{4}\]

Дискриминант равен \(\frac{1729}{4}\).

Теперь мы можем найти значения \(n\) с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

\[n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

В нашем случае \(a = \frac{1}{2}\), \(b = \frac{17}{2}\), и \(D = \frac{1729}{4}\).

\[n = \frac{-\frac{17}{2} \pm \sqrt{\frac{1729}{4}}}{2 \cdot \frac{1}{2}}\]
\[n = \frac{-17 \pm \sqrt{1729}}{2}\]

Выполним вычисления:

\[n_1 = \frac{-17 + \sqrt{1729}}{2} \approx 8.93\]
\[n_2 = \frac{-17 - \sqrt{1729}}{2} \approx -0.93\]

Так как количество тренировок не может быть отрицательным, то \(n_2\) не подходит. Значит, количество тренировок до конца года составляет примерно 8.93 (или округленно 9) тренировок.

Далее нам нужно найти минимальное количество пачек по 50 патронов, которое нужно приобрести Василию. Мы знаем, что на каждую тренировку он будет использовать увеличивающееся количество патронов. Поэтому нам нужно найти сумму всех патронов, которые он будет использовать на тренировках до конца года.

Для этого воспользуемся формулой для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\]

где \(n\) - количество тренировок, \(a\) - первый член прогрессии (90 патронов), \(d\) - разность прогрессии (10 патронов), \(S_n\) - сумма патронов Василия на тренировках до конца года.

Подставим известные значения в формулу:

\[S_n = \frac{9}{2}(2 \cdot 90 + (9-1) \cdot 10)\]
\[S_n = \frac{9}{2}(180 + 8 \cdot 10)\]
\[S_n = \frac{9}{2}(180 + 80)\]
\[S_n = \frac{9}{2}(260)\]
\[S_n = \frac{9 \cdot 260}{2}\]
\[S_n = 1170\]

Таким образом, Василию нужно приобрести минимально 1170 патронов для практики стрельбы на тренировках до конца года. Чтобы узнать количество пачек (по 50 патронов), которое нужно приобрести, разделим общее количество патронов на 50:

\[Количество\ пачек = \frac{1170}{50}\]
\[Количество\ пачек = 23.4\]

Ответ: Василию нужно приобрести минимально 23 пачки патронов по 50 штук для достижения данной цели.