а) Проходит ли график функции y = - 1/4x^2 через точку а(0,1; 0,0025)? б) Каковы координаты точек пересечения графика

Зимний_Сон

11

а) Чтобы узнать, проходит ли график функции \(y = -\frac{1}{4}x^2\) через точку \(a(0,1; 0,0025)\), мы должны подставить координаты этой точки в уравнение функции и проверить, выполняется ли оно.

Заменяя \(x\) и \(y\) значениями точки \(a\), получаем:
\[0,0025 = -\frac{1}{4} \cdot 0^2\]

Теперь, чтобы упростить вычисления, можно учесть, что \(0^2\) равно 0, поэтому правая часть уравнения также равна 0.

\[0,0025 = 0\]

Так как эти два значения не равны, значит, график функции \(y = -\frac{1}{4}x^2\) не проходит через точку \(a(0,1; 0,0025)\).

б) Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с прямой \(у = -\frac{1}{4}\), мы должны приравнять уравнения и решить полученное уравнение относительно \(x\).

Уравнение графика функции: \(y = -\frac{1}{4}x^2\)
Уравнение прямой: \(y = -\frac{1}{4}\)

Подставим уравнение прямой в уравнение графика функции и решим полученное уравнение:

\[-\frac{1}{4} = -\frac{1}{4}x^2\]

Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на \(-4\), чтобы избавиться от дробей:

\[1 = x^2\]

Возведем обе части уравнения в квадратный корень, чтобы найти значение \(x\):

\[x = \pm 1\]

Таким образом, точки пересечения графика функции с прямой \(у = -\frac{1}{4}\) имеют координаты \((-1, -\frac{1}{4})\) и \((1, -\frac{1}{4})\).

в) Чтобы найти максимальное и минимальное значение функции \(y = -\frac{1}{4}x^2\) на интервале \((-4, 4)\), нужно найти значения функции в концах интервала и в его экстремальной точке.

Вычислим значения функции в граничных точках интервала:

Для \(x = -4\):
\[y = -\frac{1}{4} \cdot (-4)^2 = -\frac{1}{4} \cdot 16 = -4\]

Для \(x = 4\):
\[y = -\frac{1}{4} \cdot 4^2 = -\frac{1}{4} \cdot 16 = -4\]

Теперь найдем значение функции в экстремальной точке. Для этого необходимо найти значение \(x\), при котором производная функции равна нулю.

\(y" = -\frac{1}{2}x\)

Приравняем производную к нулю и решим уравнение относительно \(x\):

\(-\frac{1}{2}x = 0\)

\(x = 0\)

Таким образом, \(x = 0\) - экстремальная точка функции.

Подставим найденное значение \(x\) в исходное уравнение, чтобы найти соответствующее значение \(y\):

\(y = -\frac{1}{4} \cdot 0^2 = 0\)

Итак, максимальное и минимальное значения функции \(y = -\frac{1}{4}x^2\) на интервале \((-4, 4)\) равны -4 и 0 соответственно.