What is the value of x that satisfies the equation log2(x^2+8x-48)-log4(x^2+24x+144)=55?

Сладкая_Вишня_3340

17

Давайте решим данное уравнение пошагово:

1. Сначала нам нужно объединить логарифмы с помощью известного свойства \(\log a - \log b = \log \frac{a}{b}\). Применим его к нашему уравнению:

\[\log_2(x^2+8x-48)-\log_4(x^2+24x+144)=55 \rightarrow \log_2 \frac{x^2+8x-48}{x^2+24x+144}=55\]

2. Затем мы можем избавиться от логарифма, возводя обе стороны уравнения в соответствующую степень числа 2:

\[\frac{x^2+8x-48}{x^2+24x+144}=2^{55}\]

3. Теперь у нас есть уравнение без логарифма. Для его решения можно упростить его, перемножив обе части уравнения на знаменатель слева:

\[(x^2+8x-48)(x^2+24x+144) = 2^{55}(x^2+24x+144)\]

4. После умножения скобок и сокращения получаем:

\[x^4+32x^3+288x^2+1120x-2304 = 2^{55}x^2+2^{55}\cdot24x+2^{55}\cdot144\]

5. Теперь мы можем привести уравнение к квадратному виду и избавиться от высших степеней:

\[x^4+(32x^3-2^{55}x^2)+288x^2+(1120x-2^{55}\cdot24x)-2304-2^{55}\cdot144 = 0\]

\[x^4+32x^3-2^{55}x^2+288x^2+1120x-2^{55}\cdot24x-2304-2^{55}\cdot144 = 0\]

6. Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, либо факторизацией, либо используя формулу квадратного корня. Однако, в данном случае факторизация достаточно сложна, поэтому воспользуемся формулой квадратного корня:

\[x^4+32x^3-2^{55}x^2+288x^2+1120x-2^{55}\cdot24x-2304-2^{55}\cdot144 = 0\]

\[\left(x^2+16x-\left(\sqrt{2^{55}}\right)\right)\left(x^2+16x+\left(\sqrt{2^{55}}\right)\right) = 0\]

7. Теперь у нас есть два квадратных уравнения, которые нам нужно решить по отдельности.

a) Решим первое уравнение \(x^2+16x-\left(\sqrt{2^{55}}\right) = 0\):

Чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться формулой квадратного корня:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

В нашем случае \(a=1\), \(b=16\), \(c=-\sqrt{2^{55}}\). Подставляем значения в формулу:

\[x_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2-4\cdot1\cdot(-\sqrt{2^{55}})}}{2\cdot1}\]

\[x_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{256+4\sqrt{2^{55}}}}{2}\]

b) Решим второе уравнение \(x^2+16x+\left(\sqrt{2^{55}}\right) = 0\):

Применяя формулу квадратного корня, мы получаем:

\[x_{3,4} = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2-4\cdot1\cdot\left(\sqrt{2^{55}}\right)}}{2\cdot1}\]

\[x_{3,4} = \frac{-16 \pm \sqrt{256-4\sqrt{2^{55}}}}{2}\]

Таким образом, мы нашли четыре возможных значения для \(x\):

\[x_1 = \frac{-16 - \sqrt{256+4\sqrt{2^{55}}}}{2}\]
\[x_2 = \frac{-16 + \sqrt{256+4\sqrt{2^{55}}}}{2}\]
\[x_3 = \frac{-16 - \sqrt{256-4\sqrt{2^{55}}}}{2}\]
\[x_4 = \frac{-16 + \sqrt{256-4\sqrt{2^{55}}}}{2}\]

Это все возможные значения \(x\), которые удовлетворяют данному уравнению.