Какое минимальное натуральное число имеет ровно 12 различных натуральных делителей, где наибольший простой делитель

Alisa_9598

22

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти число с 12 различными натуральными делителями, где наибольший простой делитель равен 101, а последняя цифра числа равна нулю.

Давайте начнем с того, что разложим число 101 на простые множители. Число 101 простое, поэтому его разложение будет выглядеть следующим образом: 101 = 101 * 1.

Мы знаем, что наибольший простой делитель равен 101. Чтобы получить число с 12 различными натуральными делителями, нам нужно учесть все возможные комбинации простых множителей.

Так как наибольший простой делитель равен 101, мы можем добавить это число в разложение и получить: 101 * 1.

Теперь нам нужно учесть другие простые множители. Мы хотим получить минимальное число с 12 различными делителями, поэтому добавим следующие простые числа в разложение: 2, 3, 5, 7, 11.

Теперь получим следующее разложение: 101 * 1 * 2 * 3 * 5 * 7 * 11.

У нас есть 7 простых множителей, и чтобы получить еще 5 различных делителей, мы можем добавить дополнительный множитель 2 в разложение. Теперь получим следующее разложение: 101 * 1 * 2 * 2 * 3 * 5 * 7 * 11.

Всего у нас получилось 8 простых множителей, а чтобы получить еще 4 различных делителей, мы можем добавить дополнительные множители 2 и 3. После этого получим следующее разложение: 101 * 1 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7 * 11.

Теперь у нас есть 9 простых множителей, и чтобы получить еще 3 различных делителя, мы можем добавить дополнительный множитель 2 и еще один множитель 3. Получаем следующее разложение: 101 * 1 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5 * 7 * 11.

Теперь у нас есть 10 простых множителей, и чтобы получить еще 2 различных делителя, мы можем добавить еще один множитель 2 и еще один множитель 3. Получаем следующее разложение: 101 * 1 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 2 * 3 * 5 * 7 * 11.

Наконец, чтобы получить последний, 12-й делитель, мы можем добавить множитель 2, чтобы получить число с последней цифрой равной нулю. Поэтому окончательное разложение будет выглядеть так: 101 * 1 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 2.

Соединяя все вместе, минимальное натуральное число, удовлетворяющее условиям задачи, равно: \(101 \times 1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 2 = 1086480\).

Таким образом, минимальное натуральное число, удовлетворяющее условиям задачи, равно 1086480.