Какое минимальное значение имеет функция [tex]y=2^{x^2-16x+67}[/tex]?

Valentina

57

Чтобы найти минимальное значение функции \(y = 2^{x^2-16x+67}\), нужно проанализировать ее поведение. Для этого воспользуемся методами дифференциального исчисления.

Первым шагом найдем производную функции \(y\) по \(x\). Сначала раскроем степень и получим:
\[y = 2^{x^2-16x+67} = 2^{x^2} \cdot 2^{-16x} \cdot 2^{67}\]

Теперь продифференцируем каждый множитель. Начнем с \(\frac{d}{dx} (2^{x^2})\):
Для этого применим цепное правило (chain rule):
\[\frac{d}{dx} (2^{x^2}) = 2^{x^2} \cdot \frac{d}{dx} (x^2)\]

Вычислим производную \(\frac{d}{dx} (x^2)\):
\[\frac{d}{dx} (x^2) = 2x\]

Перейдем к следующему множителю. Производная от \(\frac{d}{dx} (2^{-16x})\) также требует применения цепного правила:
\[\frac{d}{dx} (2^{-16x}) = 2^{-16x} \cdot \frac{d}{dx} (-16x)\]

Вычислим производную \(\frac{d}{dx} (-16x)\):
\[\frac{d}{dx} (-16x) = -16\]

Наконец, производная постоянного множителя равна нулю, поскольку он не зависит от \(x\). Таким образом,
\[\frac{d}{dx} (2^{67}) = 0\]

Теперь соберем все вместе, используя правило сложения производных:
\[\frac{dy}{dx} = 2^{x^2} \cdot 2^{-16x} \cdot 2^{67} \cdot (2x) + 2^{x^2} \cdot 2^{-16x} \cdot (-16) + 0\]

Упростим это выражение:
\[\frac{dy}{dx} = 2^{x^2} \cdot 2^{-16x} \cdot (2x - 16)\]

Теперь найдем точки экстремума, где производная равна нулю:
\[2^{x^2} \cdot 2^{-16x} \cdot (2x - 16) = 0\]

Это уравнение равно нулю при двух условиях:
1. \(2^{x^2} = 0\) (но функция \(2^x\) никогда не равна нулю, так как значение функции всегда положительное);
2. \(2x - 16 = 0\), откуда получаем решение \(x = 8\).

Чтобы определить, является ли эта точка минимумом, максимумом или точкой перегиба, проведем вторую производную тестирование. Вычислим вторую производную:
\[\frac{d^2y}{dx^2} = 2^{x^2} \cdot 2^{-16x} \cdot (2x - 16) \cdot (2) + 2^{x^2} \cdot 2^{-16x} \cdot (2) \cdot (2x - 16)\]
\[\frac{d^2y}{dx^2} = 2^{x^2} \cdot 2^{-16x} \cdot (4x^2 - 64x + 64) + 2^{x^2} \cdot 2^{-16x} \cdot (4x - 32)\]

Теперь подставим \(x = 8\) для проверки:
\[\frac{d^2y}{dx^2} = 2^{8^2} \cdot 2^{-16 \cdot 8} \cdot (4 \cdot 8^2 - 64 \cdot 8 + 64) + 2^{8^2} \cdot 2^{-16 \cdot 8} \cdot (4 \cdot 8 - 32)\]

После упрощения выражения, мы получим:
\[\frac{d^2y}{dx^2} = 2^{64} \cdot 2^{-128} \cdot (256 - 512 + 64) + 2^{64} \cdot 2^{-128} \cdot (32 - 32)\]
\[\frac{d^2y}{dx^2} = 2^{64} \cdot 2^{-128} \cdot (256 - 512 + 64)\]

Здесь мы видим, что \(256 - 512 + 64 < 0\), поэтому \(\frac{d^2y}{dx^2} < 0\). Это означает, что мы имеем максимум в точке \(x = 8\).

Таким образом, минимальное значение функции \(y = 2^{x^2-16x+67}\) достигается при \(x = 8\). Чтобы найти это значение, подставим \(x = 8\) в исходную функцию:
\[y = 2^{8^2-16 \cdot 8 + 67} = 2^{64-128+67} = 2^3 = 8\]

Таким образом, минимальное значение функции равно 8.