Какое минимальное значение может иметь число, написанное на доске, если оно при делении на 4 даёт остаток

Zolotoy_Lord

41

Для решения этой задачи нам потребуется найти число, удовлетворяющее всем условиям задачи. Давайте решим ее пошагово:

1. Пусть искомое число обозначается буквой \(x\).
2. Согласно условию, число \(x\) при делении на 4 даёт остаток 1. Мы можем записать это в виде уравнения: \(x \equiv 1 \mod 4\). Здесь символ "\(\equiv\)" означает "сравнимо по модулю".
3. Также, число \(x\) при делении на 5 даёт остаток 2. Это можно записать как \(x \equiv 2 \mod 5\).
4. Наконец, при делении числа \(x\) на 6 получаем остаток 3. Это можно записать как \(x \equiv 3 \mod 6\).

Теперь нашей задачей является нахождение числа \(x\), которое удовлетворяет всем этим уравнениям.

Для решения подобных систем линейных сравнений мы можем использовать китайскую теорему об остатках. Она гласит, что если у нас есть система сравнений вида:

\[x \equiv a_1 \mod m_1\]
\[x \equiv a_2 \mod m_2\]
\[\vdots\]
\[x \equiv a_n \mod m_n\]

где числа \(m_1, m_2, \ldots, m_n\) попарно взаимно простые, то существует единственное значение \(x\), которое удовлетворяет всем уравнениям.

Первым шагом нам нужно проверить, являются ли числа 4, 5 и 6 попарно взаимно простыми. В данном случае это так, поскольку НОД(4, 5) = НОД(5, 6) = НОД(4, 6) = 1.

Теперь мы можем применить китайскую теорему об остатках, чтобы найти значение \(x\), удовлетворяющее всем условиям.

1. Сначала найдем коэффициенты \(b_1, b_2\) и \(b_3\) в самом общем виде. В данном случае \(b_1 = \frac{5 \cdot 6}{\text{НОД}(5 \cdot 6, 4)} = 5\), \(b_2 = \frac{4 \cdot 6}{\text{НОД}(4 \cdot 6, 5)} = 4\) и \(b_3 = \frac{4 \cdot 5}{\text{НОД}(4 \cdot 5, 6)} = 10\).

2. Затем найдем обратные элементы \(\hat{b}_1, \hat{b}_2\) и \(\hat{b}_3\) по модулям \(m_1, m_2\) и \(m_3\) соответственно. В данном случае \(\hat{b}_1 = 5^{-1} \mod 4 = 1\), \(\hat{b}_2 = 4^{-1} \mod 5 = 4\) и \(\hat{b}_3 = 10^{-1} \mod 6 = 4\).

3. Теперь, чтобы найти искомое значение \(x\), мы можем использовать следующую формулу: \(x = (a_1 \cdot b_1 \cdot \hat{b}_1 + a_2 \cdot b_2 \cdot \hat{b}_2 + a_3 \cdot b_3 \cdot \hat{b}_3) \mod (m_1 \cdot m_2 \cdot m_3)\).

Подставляя значения из условия задачи, получим:

\[x = (1 \cdot 5 \cdot 1 + 2 \cdot 4 \cdot 4 + 3 \cdot 10 \cdot 4) \mod (4 \cdot 5 \cdot 6)\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[x = (5 + 32 + 120) \mod 120\]
\[x = 157 \mod 120\]
\[x = 37\]

Таким образом, минимальное значение числа, написанного на доске и удовлетворяющего всем условиям задачи, равно 37.