Какое множество решений имеет неравенство 2x/3 - x - 1/6 + x + 2, больше или равно?

Zagadochnyy_Les

17

Чтобы решить задачу и определить множество решений данного неравенства, мы должны выполнить несколько шагов. Позвольте мне проиллюстрировать каждый шаг подробно:

1. Сначала сложим все похожие члены, чтобы упростить выражение:

\(\frac{2x}{3} - x - \frac{1}{6} + x + 2\)

Упрощаем выражение путем объединения похожих членов:

\(\frac{2x}{3} - x + x - \frac{1}{6} + 2\)

Здесь члены \(-x\) и \(+x\) взаимно уничтожаются:

\(\frac{2x}{3} - \frac{1}{6} + 2\)

2. Следующий шаг - упростить выражение еще больше, чтобы упростить его до единственного члена. Сначала объединим числитель и знаменатель в первом члене:

\(\frac{2x - 1}{3} + 2\)

Теперь приведем общие знаменатели:

\(\frac{2x - 1 + 6}{3}\)

\(\frac{2x + 5}{3}\)

Итак, наше исходное неравенство принимает вид:

\(\frac{2x + 5}{3} \geq 0\)

3. Теперь нам нужно найти значения \(x\), при которых это неравенство будет истинно. Чтобы это сделать, мы можем использовать метод проб и ошибок или анализ знаков. В данном случае, используем анализ знаков:

a) Разберемся с числителем \((2x + 5)\). Значения \(x\), для которых \(2x + 5 > 0\) будут находиться справа от точки -\(\frac{5}{2}\) на числовой прямой. То есть \(x > -\frac{5}{2}\).

b) Затем рассмотрим знаменатель \((3)\). Значение знаменателя всегда положительное, поэтому он не влияет на знак неравенства. То есть \(3 > 0\).

В итоге, наше исходное неравенство \(x > -\frac{5}{2}\) будет выполняться при всех значениях \(x\) больше, чем -\(\frac{5}{2}\).

Поэтому, множество решений данного неравенства будет представлено следующей записью:

\[x \in \left(-\frac{5}{2}, +\infty\right)\]

Читается как: "множество значений x, для которых данное неравенство выполняется, состоит из всех чисел, больших, чем -\(\frac{5}{2}\)".