Какое наибольшее число из 13 чисел Леонид мог не выбрать, если он выбрал 12 различных натуральных чисел среди чисел

Игнат

7

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо понять, какое наибольшее число Леонид мог не выбрать при написании чисел на ребрах куба.

Для начала, давайте выведем формулу для суммы чисел, написанных на ребрах, в вершине куба. Заметим, что каждая вершина имеет три инцидентных ребра, и каждое число будет встречаться дважды (на двух различных ребрах), так как Леонид выбрал 12 различных чисел из чисел от 1 до 13.

Пусть \(x\) будет наибольшим числом, которое Леонид не выбрал. Тогда сумма чисел в каждой вершине куба будет равна \(3 \cdot (1 + 2 + 3 + ... + 13) - 2x\), где \(1 + 2 + 3 + ... + 13\) является суммой всех чисел от 1 до 13. Посчитаем эту сумму:

\[1 + 2 + 3 + ... + 12 + 13 = \frac{13 \cdot 14}{2} = 91.\]

Теперь у нас есть формула для суммы чисел в каждой вершине куба:

\[S = 3 \cdot 91 - 2x.\]

Так как сумма чисел в каждой вершине одинаковая, мы можем записать уравнение:

\[S = 3 \cdot 91 - 2x = \text{константа}.\]

Для того чтобы найти наибольшее число, которое Леонид мог не выбрать, нам надо выразить \(x\) из этого уравнения.

\[x = \frac{3 \cdot 91 - \text{константа}}{2}.\]

Так как Леонид выбрал 12 различных чисел, то \(x\) не может быть одним из этих чисел. Поэтому, наибольшее число, которое Леонид мог не выбрать, будет максимальным целым числом, меньшим или равным полученному \(x\).

Теперь подставим константу вместо \(S\) в уравнение и вычислим \(x\):

\[x = \frac{3 \cdot 91 - \text{константа}}{2}.\]

Рассмотрим все возможные значения константы. В нашем случае, мы можем написать следующие уравнения:

\[x = \frac{3 \cdot 91 - (3 \cdot 91 - 2x)}{2} = x.\]

Из этого видно, что любое значение константы подставленное в уравнение даст решение \(x = x\). Это значит, что Леонид может не выбрать любое число от 1 до 13.