Какое наименьшее целое значение А гарантирует истинность выражения (7x + 3y > 56) / ((x ≤ A) / (y < A)) для всех целых

Medvezhonok

22

Для решения данной задачи мы должны найти наименьшее целое значение \( A \), которое гарантирует истинность выражения

\[
(7x + 3y > 56) \, \text{или} \, ((x \leq A) \, \text{и} \, (y < A)) \quad \text{для всех целых положительных значений}
\]

Давайте разберемся с выражением поэтапно.

1. Начнем с первой части выражения: \(7x + 3y > 56\). Чтобы узнать для каких значений \(x\) и \(y\) данное неравенство выполняется, нам нужно найти его границу. Для этого распишем неравенство:

\[
7x + 3y > 56 \Rightarrow y > \frac{{56 - 7x}}{3}
\]

Таким образом, мы получили условие, которое дает нам границу для \(y\). Мы можем представить результат в виде таблицы:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y > \frac{{56 - 7x}}{3} \\
\hline
1 & y > \frac{{56 - 7 \cdot 1}}{3} = \frac{49}{3} \\
\hline
2 & y > \frac{{56 - 7 \cdot 2}}{3} = \frac{42}{3} \\
\hline
\vdots & \vdots \\
\hline
\end{array}
\]

2. Теперь давайте рассмотрим вторую часть выражения: \((x \leq A) \, \text{и} \, (y < A)\). Здесь нам требуется найти такое значение \(A\), при котором \(x\) не превосходит \(A\), а \(y\) меньше \(A\).

Так как нам нужно найти наименьшее значение \(A\), мы можем подставить целые положительные значения \(x\) и \(y\) в это выражение и посмотреть, когда оно становится истинным. Результат также представим в виде таблицы:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y & (x \leq A) \, \text{и} \, (y < A) \\
\hline
1 & 1 & \text{истина} \\
\hline
1 & 2 & \text{истина} \\
\hline
1 & 3 & \text{истина} \\
\hline
2 & 1 & \text{истина} \\
\hline
2 & 2 & \text{истина} \\
\hline
2 & 3 & \text{истина} \\
\hline
\vdots & \vdots & \vdots \\
\hline
\end{array}
\]

3. Теперь объединим обе части выражения. Чтобы итоговое выражение было истинным для всех целых положительных значений \(x\) и \(y\), значение \(A\) должно удовлетворять обоим частям таблицы.

Из таблицы видно, что первая часть выражения (\(7x + 3y > 56\)) истинна, когда \(y\) больше определенной границы. Следовательно, значение \(A\) должно быть больше или равно этой границе.

Значения во второй части выражения (\((x \leq A) \, \text{и} \, (y < A)\)) истинны для всех значений \(x\) и \(y\), когда \(A\) равно или больше этих значений.

Таким образом, наименьшее целое значение \(A\), которое гарантирует истинность выражения для всех целых положительных значений \(x\) и \(y\), равно границе найденной в первой части выражения.

Из таблицы видно, что граница составляет \(\frac{42}{3}\), что равно 14.

Поэтому наименьшее целое значение \(A\), которое гарантирует истинность заданного выражения для всех целых положительных значений \(x\) и \(y\), равно 14.