Какое наименьшее натуральное число a должно быть, чтобы выражение 45n + a*2n делилось на 2021 при каждом нечетном

Софья

28

Чтобы выражение \(45n + a \cdot 2^n\) делилось на 2021 при каждом нечетном значении переменной \(n\), нам необходимо найти наименьшее натуральное число \(a\), подходящее для этого условия. Давайте разберемся пошагово.

1. У нас есть ограничение: выражение должно делиться на 2021 при каждом нечетном значении переменной \(n\). Значит, мы можем рассматривать только нечетные значения \(n\).

2. Для начала, нам нужно найти такое минимальное нечетное значение \(n\), при котором выражение не делится на 2021. Мы знаем, что 2021 является простым числом (не имеет делителей, кроме 1 и самого себя), поэтому для решения этой задачи мы можем использовать малую теорему Ферма.

3. Малая теорема Ферма гласит, что если \(p\) - простое число и \(a\) не делится на \(p\), то \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\), где \(\equiv\) обозначает сравнение по модулю \(p\).

4. В нашем случае простое число \(p\) равно 2021, а \(a\) равно 2, поскольку это коэффициент при \(2^n\) в выражении. Таким образом, мы можем записать \(2^{2020} \equiv 1 \pmod {2021}\).

5. Давайте найдем наименьшее значение \(k\), для которого \(2^k \equiv 1 \pmod {2021}\). Мы можем начать перебор значений и остановиться, когда найдем такое \(k\).

6. Мы начинаем с \(k = 1\) и выполняем возведение числа 2 в степень, пока не получим остаток 1 при делении на 2021.

\[
\begin{{align*}}
2^1 &\equiv 2 \pmod {2021}\\
2^2 &\equiv 4 \pmod {2021}\\
2^3 &\equiv 8 \pmod {2021}\\
2^4 &\equiv 16 \pmod {2021}\\
2^5 &\equiv 32 \pmod {2021}\\
2^6 &\equiv 64 \pmod {2021}\\
2^7 &\equiv 128 \pmod {2021}\\
2^8 &\equiv 256 \pmod {2021}\\
2^9 &\equiv 512 \pmod {2021}\\
2^{10} &\equiv 1024 \pmod {2021}\\
2^{11} &\equiv 2022 \pmod {2021}\\
2^{12} &\equiv 2020 \pmod {2021}\\
\end{{align*}}
\]

7. Мы получили \(2^{12} \equiv 2020 \pmod {2021}\), значит, наименьшее значение \(k\) равно 12.

8. Теперь нам нужно найти наименьшее значение \(a\), чтобы \((45n + a \cdot 2^n)\) делилось на 2021 при каждом нечетном значении \(n\). Мы уже знаем, что \(k = 12\).

9. Чтобы выражение было кратно 2021 для каждого нечетного \(n\), мы можем записать \(45n + a \cdot 2^n = 0 \pmod {2021}\).

10. Подставим значение \(k = 12\) в это уравнение: \(45n + a \cdot 2^{12} = 0 \pmod {2021}\).

11. Поскольку \(2^{12} \equiv 2020 \pmod {2021}\), уравнение можно переписать в виде: \(45n + a \cdot 2020 = 0 \pmod {2021}\).

12. Мы знаем, что 2021 является простым числом, поэтому у него существует мультипликативный обратный элемент. В данном случае мультипликативный обратный элемент для 2020 равен 1, так как \(2020 \cdot 1 \equiv 1 \pmod {2021}\).

13. Итак, уравнение можно переписать в виде \(45n + a = 0 \pmod {2021}\).

14. Значит, нам нужно найти такое значение \(a\), чтобы \(45n + a\) делилось на 2021 для каждого нечетного \(n\).

15. Мы знаем, что 2021 является простым числом, поэтому НОД(45, 2021) должно быть равным 1, чтобы \(45n + a\) делилось на 2021 для каждого нечетного \(n\).

16. Вычислим НОД(45, 2021) с помощью алгоритма Евклида:

\[
\begin{{align*}}
2021 &= 45 \cdot 44 + 11\\
45 &= 4 \cdot 11 + 1\\
11 &= 11 \cdot 1 + 0\\
\end{{align*}}
\]

17. Мы получили, что НОД(45, 2021) = 1, значит, \(45n + a\) будет делиться на 2021 для каждого нечетного \(n\), если \(a\) будет равно мультипликативному обратному элементу для 45 по модулю 2021.

18. Вычислим мультипликативный обратный элемент для 45 по модулю 2021. Мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида:

\[
\begin{{align*}}
2021 &= 45 \cdot 44 + 11\\
45 &= 4 \cdot 11 + 1\\
11 &= 11 \cdot 1 + 0\\
\end{{align*}}
\]

19. Обратный элемент для 45 составляет 44, так как \(45 \cdot 44 \equiv 1 \pmod {2021}\).

20. Итак, наименьшее натуральное число \(a\), удовлетворяющее условию, равно 44. Поэтому \(a\) должно быть равно 44, чтобы выражение \(45n + a \cdot 2^n\) делилось на 2021 при каждом нечетном значении \(n\).