В одном доме проживают 9 юношей и одна девушка. Назовем компаниями любые группы, состоящие из двух или более детей

Радуга_На_Земле

8

Давайте посмотрим на данную задачу подробнее.

У нас есть 9 юношей и 1 девушка, которые живут в одном доме. Нас интересует, сколько компаний больше: с девушкой или без нее.

Для начала, давайте рассмотрим случай, когда в компании есть только юноши, то есть без девушки. Чтобы определить количество таких компаний, нам нужно выбрать 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9 юношей из общего количества юношей.

Это можно рассмотреть как задачу комбинаторики, где мы выбираем \(k\) элементов из множества из \(n\) элементов. Формула для этого называется биномиальным коэффициентом и записывается следующим образом:

\[{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где "!" обозначает факториал. Факториал числа \(n\) обозначается \(n!\) и равен произведению всех положительных целых чисел от 1 до \(n\).

Теперь, если мы выбираем только юношей без учета девушки, то нам нужно выбрать \(k\) юношей из 9, где \(k\) принимает значения от 2 до 9.

Давайте посчитаем количество компаний без девушки:

\[{9 \choose 2} + {9 \choose 3} + {9 \choose 4} + {9 \choose 5} + {9 \choose 6} + {9 \choose 7} + {9 \choose 8} + {9 \choose 9}\]

Теперь мы можем рассмотреть случай, когда в компании есть девушка. Здесь нам нужно выбрать 1 девушку из 1 и \(k-1\) юношу из 9 для компании, где \(k\) принимает значения от 2 до 10 (включительно), так как в каждой компании должен быть как минимум 1 юноша и 1 девушка.

Теперь посчитаем количество компаний с девушкой:

\[{1 \choose 1} \cdot {9 \choose 1} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 2} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 3} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 4} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 5} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 6} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 7} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 8} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 9}\]

Теперь, чтобы найти наибольшее количество компаний, нам нужно сравнить два полученных значения и определить, сколько компаний больше.

Вычислим эти значения:

\[C_1 = {9 \choose 2} + {9 \choose 3} + {9 \choose 4} + {9 \choose 5} + {9 \choose 6} + {9 \choose 7} + {9 \choose 8} + {9 \choose 9}\]

\[C_2 = {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 1} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 2} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 3} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 4} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 5} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 6} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 7} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 8} + {1 \choose 1} \cdot {9 \choose 9}\]

Мы можем вычислить эти значения:

\[C_1 = \frac{9!}{2!(9-2)!} + \frac{9!}{3!(9-3)!} + \frac{9!}{4!(9-4)!} + \frac{9!}{5!(9-5)!} + \frac{9!}{6!(9-6)!} + \frac{9!}{7!(9-7)!} + \frac{9!}{8!(9-8)!} + \frac{9!}{9!(9-9)!}\]

\[C_2 = \frac{1!}{1!(1-1)!} \cdot \frac{9!}{1!(9-1)!} + \frac{1!}{1!(1-1)!} \cdot \frac{9!}{2!(9-2)!} + \frac{1!}{1!(1-1)!} \cdot \frac{9!}{3!(9-3)!} + \frac{1!}{1!(1-1)!} \cdot \frac{9!}{4!(9-4)!} + \frac{1!}{1!(1-1)!} \cdot \frac{9!}{5!(9-5)!} + \frac{1!}{1!(1-1)!} \cdot \frac{9!}{6!(9-6)!} + \frac{1!}{1!(1-1)!} \cdot \frac{9!}{7!(9-7)!} + \frac{1!}{1!(1-1)!} \cdot \frac{9!}{8!(9-8)!} + \frac{1!}{1!(1-1)!} \cdot \frac{9!}{9!(9-9)!}\]

А теперь мы можем сравнить эти значения и определить, насколько больше одно из них.

Если \(C_1 > C_2\), то количество компаний без девушки больше на \(C_1 - C_2\).

Если \(C_1 < C_2\), то количество компаний с девушкой больше на \(C_2 - C_1\).

Если \(C_1 = C_2\), то количество компаний без девушки и с девушкой равно.

Пожалуйста, используйте калькулятор или программное обеспечение, чтобы получить точные значения \(C_1\) и \(C_2\) для ответа на эту задачу.