Какое наименьшее натуральное число n необходимо взять, чтобы 45 в степени n делилось нацело на 75 в степени?

Дельфин_2487

50

Чтобы понять, какое наименьшее натуральное число \(n\) необходимо взять, чтобы \(45^n\) делилось нацело на \(75^n\), давайте посмотрим на разложение чисел 45 и 75 на простые множители.

\(45 = 3^2 \cdot 5^1\)

\(75 = 3^1 \cdot 5^2\)

Теперь мы можем записать числа 45 и 75 в виде произведения простых множителей.

\(45^n = (3^2 \cdot 5^1)^n = 3^{2n} \cdot 5^n\)

\(75^n = (3^1 \cdot 5^2)^n = 3^n \cdot 5^{2n}\)

Теперь нам нужно определить наименьшее значение \(n\), чтобы \(3^{2n} \cdot 5^n\) делилось на \(3^n \cdot 5^{2n}\) нацело. Мы знаем, что для этого должны выполняться следующие условия:

1) \(2n \geq n\) (для множителя \(5^n\))
2) \(n \geq 2n\) (для множителя \(3^{2n}\))

Сравнивая эти условия, мы можем отбросить одно из них и сфокусироваться на неравенстве \(2n \geq n\). Решим это неравенство.

\(2n \geq n\)

Вычтем \(n\) из обеих частей неравенства:

\(2n - n \geq n - n\)

\(n \geq 0\)

Таким образом, \(n\) должно быть больше или равно нулю.

Следовательно, наименьшее натуральное число \(n\), чтобы \(45^n\) делилось нацело на \(75^n\), равно нулю.