Как переформулировать выражение 2х²+5х-3/х-1 в виде ах+б+с/х-1, где а, б и с - целые числа?

Веселый_Пират

37

Для переформулировки выражения \(2х^2+5х-\frac{3}{х-1}\) в виде \(\frac{ах+б+с}{х-1}\), где \(а\), \(б\) и \(с\) являются целыми числами, мы можем использовать метод разложения на простые дроби или метод частичных дробей.

Давайте воспользуемся методом разложения на простые дроби:

Шаг 1: Найдем НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей в первоначальном выражении. В данном случае знаменатели равны \(х-1\).

Шаг 2: Разложим каждое слагаемое в выражении \(2х^2+5х-\frac{3}{х-1}\) на простые дроби с неизвестными числами \(а\), \(б\) и \(с\) в числителе:

\[
2х^2+5х-\frac{3}{х-1} = \frac{ах+б+с}{х-1}
\]

Шаг 3: Умножим обе части уравнения на знаменатель \((х-1)\):

\[
(2х^2+5х-\frac{3}{х-1})(х-1) = (ах+б+с)
\]

Expand the expression on the left side:

\[
2х^3 - 2х^2 + 5х^2 - 5х - 3 = ах^2 - ах + бх - б + с
\]

Now, combine like terms on both sides of the equation:

\[
2х^3 + (5-2)х^2 + (-а+б)х + (-б+с) - 3 = 0
\]

This simplifies to:

\[
2х^3 + 3х^2 + (б-а)х + с-б - 3 = 0
\]

To rewrite this equation in the form \((ах+б+с)(х-1)\), we need the constant terms on the right side to be equal to zero. So:

\[
с-б - 3 = 0
\]

This implies that \(с = б + 3\). Now, let"s rewrite the equation:

\[
2х^3 + 3х^2 + (б-а)х + (б+3) - б - 3 = 0
\]

Combine like terms:

\[
2х^3 + 3х^2 + (б-а)х + б - б + 3 - 3 = 0
\]

Simplify further:

\[
2х^3 + 3х^2 + (б-а)х = 0
\]

Now, we have the equation in the form \((ах+б+с)(х-1)\), where \(а = 2\), \(б = б - б + 3 = 3\), and \(с = 0\).

Таким образом, выражение \(2х^2+5х-\frac{3}{х-1}\) может быть переформулировано в виде \(\frac{2х+3}{х-1}\), где \(а = 2\), \(б = 3\) и \(с = 0\).