Какое наименьшее простое число p имеет такое свойство, что количество положительных делителей числа p^3+4p^2+4p равно

Gosha

37

Для начала давайте разберемся с выражением \(p^3+4p^2+4p\). Чтобы найти количество его положительных делителей, мы должны сначала разложить это выражение на множители.

Давайте факторизуем выражение. Мы видим, что в нем есть общий множитель \(p\), поэтому мы можем его вынести:

\(p(p^2+4p+4)\)

Мы видим, что внутренняя часть выражения \(p^2+4p+4\) является квадратным трехчленом. Давайте посмотрим, можно ли его разложить на множители.

Рассмотрим выражение \(p^2+4p+4\). Мы видим, что это является полным квадратом: \((p+2)^2\). Это можно увидеть, раскрывая квадрат:

\((p+2)(p+2) = p^2+2p+2p+4 = p^2+4p+4\)

Теперь, когда мы выразили исходное выражение в виде произведения множителей, мы можем определить его делители.

Исходное выражение \(p(p^2+4p+4)\) будет иметь столько делителей, сколько делителей имеет каждый из множителей их произведения. Это связано с тем, что каждый делитель множителя может сочетаться с делителями другого множителя, чтобы образовать новый делитель исходного выражения.

Теперь рассмотрим каждый множитель по отдельности:

1) Множитель p. Это простое число, поэтому в качестве делителей он имеет только 2: 1 и само число p.

2) Множитель \(p^2+4p+4 = (p+2)^2\). Этот множитель является полным квадратом, и для полного квадрата есть специальное правило: он имеет столько делителей, сколько его корень. В нашем случае, корень \((p+2)\) - это \(p+2\), поэтому этот множитель имеет только 1 и себя самого в качестве делителей.

Теперь, чтобы найти количество положительных делителей исходного выражения, мы можем перемножить количество делителей каждого множителя.

Для множителя p у нас есть 2 делителя: 1 и p.

Для множителя \(p^2+4p+4\) у нас есть 2 делителя: 1 и \(p+2\).

Получается, что исходное выражение имеет 2 делителя от множителя p и 2 делителя от множителя \(p^2+4p+4\).

Теперь, чтобы найти наименьшее простое число \(p\) с таким свойством, что количество положительных делителей числа \(p^3+4p^2+4p\) равно \(4\), мы должны найти такое простое число \(p\), которое имеет следующие условия:

1) У числа \(p\) есть только два делителя: 1 и \(p\).
2) У числа \(p+2\) есть только два делителя: 1 и \(p+2\).

Мы видим, что при \(p=2\) выполняются оба условия, поскольку 2 имеет только два делителя (1 и 2), и 2+2=4 также имеет только два делителя (1 и 4).

Таким образом, наименьшим простым числом \(p\) с таким свойством является \(p=2\).

Надеюсь, это решение понятно! Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.