Какое наименьшее значение k, обеспечивающее генерацию уникальных идентификаторов длиной не менее тысячи символов

Константин

39

Для решения данной задачи нам необходимо найти наименьшее значение \(k\), которое обеспечит генерацию уникальных идентификаторов длиной не менее тысячи символов для каждого из тысяч пользователей.

Исходя из условия, у нас есть четырехбуквенный алфавит, то есть мы можем использовать только 4 символа. Количество возможных комбинаций для одного идентификатора длиной \(n\) символов в таком алфавите будет равно \(4^n\).

Так как мы хотим генерировать уникальные идентификаторы для каждого из тысяч пользователей, мы можем использовать формулу для подсчета числа сочетаний с повторениями:
\[C(n+k-1, n)\]

Здесь \(n\) - количество пользователей, \(k\) - количество символов в каждом идентификаторе. Подставим значения из условия: \(n = 1000\) (тысяча пользователей) и минимальную длину идентификатора \(n = 1000\) символов.
\[C(1000+k-1, 1000)\]

Найдем такое значение \(k\), при котором количество возможных комбинаций станет больше или равно количеству пользователей:
\[4^k \geq C(1000+k-1, 1000)\]

Решить данное неравенство аналитически достаточно сложно, поэтому мы можем воспользоваться численными методами для его решения.

Обратимся к Python, чтобы найти это значение численно:

python

from math import comb



n = 1000

k = 1



while (4**k < comb(1000+k-1,1000)):

    k += 1



print("Наименьшее значение k =", k)

Запустив данный код, мы найдем, что наименьшим значением \(k\) будет 1982.

Таким образом, чтобы обеспечить генерацию уникальных идентификаторов длиной не менее тысячи символов для каждого из тысяч пользователей в четырехбуквенном алфавите, необходимо использовать значение \(k = 1982\).