Какое наименьшее значение может принимать выражение a2+b2+c2−ab−bc−c?

Yard

44

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом завершения квадрата. Вначале, давайте создадим новое выражение, которое будет являться квадратным трехчленом.

Рассмотрим выражение:
(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2)

Мы вычислили квадрат трехчлена a - b, затем b - c и наконец a - c.

Разделим каждое выражение на 2 и получим:

(a^2 - 2ab + b^2)/2 + (b^2 - 2bc + c^2)/2 + (c^2 - 2ac + a^2)/2

Теперь объединим все три выражения:

[(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2)]/2

Мы получили новое выражение, которое равно половине исходного выражения (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac). Теперь нам нужно найти значение этого нового выражения, чтобы получить минимальное значение исходного выражения.

Заметим, что каждое из трех выражений в скобках приравнивается к нулю (полный квадрат):

a^2 - 2ab + b^2 = 0
b^2 - 2bc + c^2 = 0
c^2 - 2ac + a^2 = 0

Теперь решим каждое из этих уравнений и найдем соответствующие значения переменных a, b и c.

Решим первое уравнение:

a^2 - 2ab + b^2 = 0

(a - b)^2 = 0

Так как квадрат равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю, мы получаем:

a - b = 0

a = b

Аналогичным образом решим второе и третье уравнения:

b - c = 0
b = c

и

c - a = 0
c = a

Теперь, используя полученные значения переменных, найдем значение исходного выражения:

(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) = (a^2 + a^2 + a^2 - a*a - a*a - a*a) = (3a^2 - 3a^2) = 0

Таким образом, минимальное значение выражения a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - c равно 0.

Ответ: самое маленькое значение этого выражения равно 0.