Какое наименьшее значение принимает функция y=2x^3-24x+17 на интервале [0;8]?

Семён_5299

39

Чтобы найти наименьшее значение функции \(y = 2x^3-24x+17\) на интервале \([0;8]\), мы должны применить процесс оптимизации. Для начала, найдем критические точки функции в данном интервале, которые являются местами, где производная функции равна нулю или не существует.

1. Найдем производную функции \(y = 2x^3-24x+17\). Для этого используем правило дифференцирования суммы, разности и произведения функций:

\[y" = (2x^3)"-(24x)" + (17)"\]
\[y" = 6x^2-24 + 0\]
\[y" = 6x^2-24\]

2. Получившуюся производную \(y" = 6x^2-24\) приравняем к нулю и решим уравнение:

\[6x^2-24 = 0\]
\[x^2-4 = 0\]
\[(x-2)(x+2) = 0\]

Таким образом, получаем две критические точки: \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 2\).

3. Теперь проверим значения функции в критических точках и на границах интервала \([0;8]\).

Подставим \(x = 0\):
\[y = 2(0)^3-24(0)+17 = 17\]

Подставим \(x = 2\):
\[y = 2(2)^3-24(2)+17 = 17\]

Подставим \(x = 8\):
\[y = 2(8)^3-24(8)+17 = 1057\]

Таким образом, наша функция принимает следующие значения: \(y_1 = 17\) при \(x = 0\), \(y_2 = 17\) при \(x = 2\) и \(y_3 = 1057\) при \(x = 8\).

Наименьшее значение функции на интервале \([0;8]\) равно 17 и достигается в точках \(x = 0\) и \(x = 2\).