Какое отношение имеет площадь осевого сечения шара, который вписан в первый куб, к площади осевого сечения шара

Фонтан

4

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с понимания основных понятий. Осевое сечение - это сечение поверхности, проходящее через центр объекта и перпендикулярное к оси симметрии.

Представьте себе, что имеется первый куб с ребром \( a \) и второй куб с ребром \( b \), в которых вписаны и описаны сферы соответственно.

У нас есть два шара, один из которых вписан в первый куб, а другой описывает второй куб.

Для начала рассмотрим площадь осевого сечения шара, который вписан в первый куб. Если мы проведем плоскость, параллельную одной из граней первого куба, то получим круглое осевое сечение шара.

Обозначим площадь этого круга как \( S_1 \). Формула площади круга имеет вид:
\[ S_1 = \pi r_1^2, \]
где \( r_1 \) - радиус вписанного шара.
Радиус вписанного шара равен половине диагонали основания первого куба, то есть \( r_1 = \frac{a}{2\sqrt{2}} \). Подставим это значение в формулу для площади:
\[ S_1 = \pi \left(\frac{a}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8}. \]

Теперь рассмотрим площадь осевого сечения шара, который описывает второй куб. Аналогично, если мы проведем плоскость, параллельную одной из граней второго куба, то получим круглое осевое сечение шара.

Обозначим площадь этого круга как \( S_2 \). Формула площади круга также имеет вид:
\[ S_2 = \pi r_2^2, \]
где \( r_2 \) - радиус описанного шара.
Радиус описанного шара равен половине диагонали основания второго куба, то есть \( r_2 = \frac{b\sqrt{2}}{2} \). Подставим это значение в формулу для площади:
\[ S_2 = \pi \left(\frac{b\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{b^2}{2}. \]

Теперь мы можем вычислить отношение площадей осевых сечений:
\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{\pi a^2}{8}}{\pi \frac{b^2}{2}} = \frac{a^2}{8} \cdot \frac{2}{b^2} = \frac{a^2}{4b^2}. \]

Таким образом, отношение площади осевого сечения шара, вписанного в первый куб, к площади осевого сечения шара, описывающего второй куб, равно \( \frac{a^2}{4b^2} \).