Какое отношение объема шара к объему вписанного цилиндра?

Magicheskiy_Zamok_7002

55

Ответом на ваш вопрос будет доказательство того, что отношение объема шара к объему вписанного цилиндра равно \(\frac{4}{3\pi}\).

Для начала, давайте представим себе шар и цилиндр в трехмерном пространстве. Чтобы лучше визуализировать понятие, можно представить себе, что шар сидит внутри цилиндра (вписан).

Итак, пусть радиус шара равен \(r\), а высота цилиндра равна \(h\). Объем шара можно выразить как \(\frac{4}{3}\pi r^3\), а объем цилиндра равен \(\pi r^2h\).

Чтобы понять, как эти объемы связаны друг с другом, давайте рассмотрим следующую ситуацию. Если мы возьмем шар и аккуратно поместим его в цилиндр таким образом, чтобы шар полностью заполнил цилиндр, то можно заметить, что шар будет касаться внутренней поверхности цилиндра по всему периметру круга. Это означает, что шар будет образовывать внутри цилиндра круг такого же радиуса.

Теперь давайте рассмотрим объемы шара и вписанного цилиндра. Обратите внимание, что когда шар полностью вписан в цилиндр, объем шара будет равен объему вписанного круга в цилиндре. Круговая форма обеспечивает наибольшую площадь для заданного периметра, поэтому эта конфигурация обеспечивает максимальный объем для заданных параметров.

Итак, объем шара равен объему вписанного круга, который является основанием цилиндра. Мы можем использовать формулу для объема цилиндра \(\pi r^2h\), где \(r\) - радиус шара, чтобы получить отношение объема шара к объему вписанного цилиндра:

\[\frac{\text{объем шара}}{\text{объем цилиндра}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\pi r^2h}\]

Теперь давайте упростим это выражение. Общие множители \(\pi\) и \(r^2\) сокращаются, и мы получаем:

\[\frac{\text{объем шара}}{\text{объем цилиндра}} = \frac{\frac{4}{3} r^3}{r^2h}\]

Далее сокращаем \(r\) и получаем:

\[\frac{\text{объем шара}}{\text{объем цилиндра}} = \frac{\frac{4}{3} r}{h}\]

Таким образом, мы получаем, что отношение объема шара к объему вписанного цилиндра равно \(\frac{4}{3h}\). Обратите внимание, что \(h\) - это высота цилиндра, которая может быть любой. Если вы хотите конкретный численный ответ, вам нужно знать высоту цилиндра. Если \(h = 1\), то отношение объема будет составлять \(\frac{4}{3}\).

Надеюсь, это доказательство помогло вам понять, какие отношения существуют между объемом шара и объемом вписанного цилиндра.