Какое отношение объемов двух цилиндров получается при вращении прямоугольника около каждой из его сторон

Загадочный_Кот

47

Для решения данной задачи, давайте представим прямоугольник, который мы будем вращать вокруг его сторон.

Пусть ширина прямоугольника равна \(w\), а высота равна \(h\). Расстояние от центра вращения до прямоугольника обозначим как \(r\).

Когда мы вращаем прямоугольник вокруг его ширины, получаем цилиндр, у которого радиус основания равен ширине, т.е. \(R_1 = w\), а высота цилиндра будет равна \(h\).

Аналогично, когда мы вращаем прямоугольник вокруг его высоты, получаем цилиндр с радиусом основания, \(R_2\), равным высоте прямоугольника, т.е. \(R_2 = h\). Высота такого цилиндра равна ширине прямоугольника \(w\).

Теперь, чтобы найти отношение объемов данных цилиндров, нам нужно выразить их объемы через заданные значения.

Объем цилиндра можно вычислить по формуле: \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) - радиус основания, а \(h\) - высота.

Теперь подставим значения для первого цилиндра: \(V_1 = \pi (w/2)^2 h\).

А для второго цилиндра: \(V_2 = \pi (h/2)^2 w\).

Теперь посмотрим, как связаны эти объемы. Заметим, что \(V_1/V_2\) равно:

\[
\frac{{\pi (w/2)^2 h}}{{\pi (h/2)^2 w}}
\]

Теперь упростим выражение: номер \(pi\) в числителе и знаменателе сокращаются, а \(2^2\) и \(2^2\) также сокращаются. Остается:

\[
\frac{{w \cdot h}}{{h \cdot w}} = 1
\]

Таким образом, отношение объемов данных цилиндров равно 1.

Задача решена! Надеюсь, ответ был понятен.