Какое отношение ускорений a1 и a2, приобретенных двумя столкнувшимися каменными шариками 9-го класса на гладкой

Skorostnaya_Babochka_2287

27

Для решения данной задачи необходимо применить законы сохранения механической энергии и импульса. Обратимся к каждому закону в отдельности.

Закон сохранения механической энергии гласит, что механическая энергия замкнутой системы остаётся неизменной, если на неё не действуют внешние силы. В данном случае, каменные шарики сталкиваются на гладкой поверхности, поэтому можно считать такую систему замкнутой.

Изначально шарики находятся в покое, и следовательно, их кинетическая энергия равна нулю. После столкновения кинетическая энергия шариков тоже будет равна нулю, так как они будут снова находиться в покое, но уже в новых положениях. Таким образом, можно сказать, что механическая энергия замкнутой системы в начале и в конце равна нулю.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов замкнутой системы тел остаётся неизменной, если на систему не действуют внешние силы. Импульс тела определяется как произведение его массы на скорость.
Для нашего случая, можно записать следующее уравнение:
\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0,\]
где \(m_1\) - масса первого шарика, \(m_2\) - масса второго шарика, \(v_1\) - скорость первого шарика после столкновения, \(v_2\) - скорость второго шарика после столкновения.

Теперь, рассмотрим соотношение между радиусами шариков. По условию, радиус первого шарика в 2 раза меньше радиуса второго. Обозначим радиусы шариков как \(r_1\) и \(r_2\) соответственно. Тогда можно записать, что \(r_1 = \frac{1}{2} r_2\).

Масса шарика прямо пропорциональна его объёму, а объём шарика определяется формулой для объёма шара: \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\). Таким образом, массы шариков можно записать:
\[m_1 = \alpha \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3, \quad m_2 = \alpha \cdot \frac{4}{3} \pi r_2^3,\]
где \(\alpha\) - плотность материала из которого изготовлены шарики.

Теперь мы готовы объединить все полученные уравнения и решить задачу. Выражаем \(v_1\) через \(v_2\) из уравнения сохранения импульса:
\[v_1 = -\frac{m_2}{m_1} v_2.\]
Механическая энергия системы:
\[E_{\text{нач}} = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}} = 0.\]
Во-первых, кинетическая энергия:
\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = 0.\]
Во-вторых, потенциальная энергия:
\[E_{\text{пот}} = m_1 g h_1 + m_2 g h_2 = 0,\]
где \(g\) - ускорение свободного падения, \(h_1\) - высота подъема первого шарика после столкновения, \(h_2\) - высота подъема второго шарика после столкновения.
Учитывая, что \(E_{\text{пот}} = m_1 g h_1 + m_2 g h_2 = 0\), можем записать:
\[m_1 h_1 + m_2 h_2 = 0.\]
Используя выражение для высоты подъема шарика в зависимости от скорости и ускорения:
\[h = \frac{v^2}{2a}.\]
Подставляя это уравнение в равенство \(m_1 h_1 + m_2 h_2 = 0\), получим:
\[m_1 \frac{v_1^2}{2a_1} + m_2 \frac{v_2^2}{2a_2} = 0.\]
Теперь выразим \(v_1\) через \(v_2\) и подставим в данное уравнение:
\[-\frac{m_2}{m_1} \cdot \frac{v_2^2}{2a_1} + \frac{v_2^2}{2a_2} = 0.\]
Из этого уравнения можно выразить отношение ускорений \(a_1\) и \(a_2\):
\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{m_2}{m_1}.\]
Теперь подставим выражения для масс шариков:
\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{\alpha \cdot \frac{4}{3} \pi r_2^3}{\alpha \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_2^3}{\frac{4}{3} \pi \left(\frac{1}{2} r_2\right)^3} = \frac{r_2^3}{\left(\frac{1}{2} r_2\right)^3} = \frac{r_2^3}{\frac{1}{8} r_2^3} = 8.\]
Таким образом, отношение ускорений \(a_1\) и \(a_2\) равно 8.

Ответ: Отношение ускорений \(a_1\) и \(a_2\) равно 8.