Какое расстояние от экрана необходимо выбрать для размещения футбольного мяча, чтобы диаметр тени был втрое больше

Ледяной_Волк

52

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать принципы геометрии и соотношения между объектами в тени и свете.

Давайте предположим, что футбольный мяч имеет диаметр \(d\) (в метрах), а диаметр его тени равен \(3d\) (так как он должен быть втрое больше).

Мы также предполагаем, что источник света находится на очень большом расстоянии, чтобы лучи света практически параллельны при падении на мяч.

Зафиксируем точку, где находится мяч, и построим прямоугольный треугольник, вершинами которого будут центр мяча, точка соприкосновения мяча с землей и верхняя точка тени. Пусть это треугольник \(ABC\):

\(\angle ACB\) - прямой угол, так как лучи света падают параллельно;

\(AC\) - гипотенуза треугольника, она соединяет центр мяча с верхней точкой тени;

\(BC\) - катет, равный \(d\), нижняя сторона треугольника, соединяющая центр мяча с точкой соприкосновения с землей;

\(AB\) - катет, равный медиусу мяча, или \(\frac{d}{2}\), это вертикальная сторона треугольника, отображающая диаметр мяча.

Мы хотим найти расстояние \(CA\), чтобы диаметр тени был втрое больше диаметра мяча.

Так как треугольник прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Подставляя значения:

\[CA^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + d^2\]

Упростив:

\[CA^2 = \frac{d^2}{4} + d^2 = \frac{5d^2}{4}\]

Теперь найдем значение \(CA\) (расстояние, которое мы хотим найти), возведя обе части уравнения в квадрат:

\[CA = \sqrt{\frac{5d^2}{4}} = \frac{d\sqrt{5}}{2}\]

Таким образом, расстояние от экрана до мяча должно быть \(\frac{d\sqrt{5}}{2}\).