Какое расстояние переместится теплоизолирующий тонкий поршень, который разделяет горизонтальный цилиндр длиной 1,4

Antonovich_7589

59

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа, которое выражает зависимость давления от объема, температуры и количества вещества.

Уравнение состояния гласит: \(PV = nRT\), где
\(P\) - давление газа,
\(V\) - объем газа,
\(n\) - количество вещества (в данном случае постоянное),
\(R\) - универсальная газовая постоянная,
\(T\) - абсолютная температура газа.

Из условия задачи следует, что объем газа для обоих частей цилиндра одинаков, а количество вещества тоже.

Пусть \(V_1\) будет объемом одной части газа изначально при температуре 20 °C, а \(V_2\) - объемом другой части газа после изменения температуры.

Так как у нас идеальный газ, его температура будет пропорционально зависеть от объема. Поэтому мы можем использовать следующее выражение:

\(\frac{{V_1}}{{T_1}} = \frac{{V_2}}{{T_2}}\), где
\(T_1\) - температура газа в одной из частей цилиндра до изменения,
\(T_2\) - температура газа в другой части после изменения.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти соотношение между \(V_1\) и \(V_2\).

Поскольку газ находится в цилиндре, который делится поршнем на две равные части, объемы \(V_1\) и \(V_2\) аддитивны. То есть, сумма объемов газа до и после изменения температуры будет равна начальному объему:

\(V_1 + V_2 = V\),

где \(V\) - начальный объем газа.

Теперь рассмотрим отношение объемов газа, записанное через температуры:

\(\frac{{V_1}}{{T_1}} = \frac{{V_2}}{{T_2}}\).

После перегруппировки выражения, получаем:

\(V_1 = \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot V_2\).

Теперь выразим \(V_2\) через \(V\):

\(V_2 = V - V_1\).

Подставим полученное выражение для \(V_2\) в предыдущее равенство:

\(V - V_1 = \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot V_2\).

Раскроем скобки и выразим \(V_1\):

\(V - V_1 = \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot (V - V_1)\).

Раскроем скобки:

\(V - V_1 = \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot V - \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot V_1\).

Перенесем все \(V_1\) влево:

\(V - \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot V_1 = \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot V\).

Теперь выразим \(V_1\):

\(V_1 = V - \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot V\).

Мы получили выражение для объема газа в одной из частей цилиндра после изменения температуры.

Чтобы найти перемещение поршня, необходимо найти разность объемов газа до и после изменения температуры:

\(\Delta V = V_2 - V_1\).

Подставим полученные выражения для \(V_1\) и \(V_2\):

\(\Delta V = V - \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot V - (V - \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot V)\).

Упростим:

\(\Delta V = V - V + \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot V - \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot V\).

Теперь сокращаем \(V\):

\(\Delta V = \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot V - \frac{{T_1}}{{T_2}} \cdot V\).

Получается, что разность объемов равна нулю. Это означает, что теплоизолирующий тонкий поршень не перемещается.

Таким образом, ответ на задачу: теплоизолирующий тонкий поршень не перемещается при изменении температуры газа в цилиндре.