Какое расстояние (в см) от точки подвеса шарика до плоскости его вращения, если вращающийся шарик зарядить зарядом

Океан

64

Для решения этой задачи, нам понадобится знание о законе сохранения энергии вращательного движения и формулах для расчета угловой скорости и центростремительного ускорения.

Сначала определим значение радиуса вращения \(r\) шарика. Дано, что при угловой скорости \(3 \, рад/с\) радиус этой окружности, получаем \(r = v/\omega = 3\, рад/3\, рад/с = 1\, см\).

Теперь мы можем рассчитать центростремительное ускорение \(a\) с использованием формулы \(a = \omega^2 \cdot r\). Подставив значения угловой скорости и радиуса, получим \(a = 3^2 \cdot 1 = 9 \, см/с^2\).

Далее, мы можем использовать закон сохранения энергии вращательного движения, чтобы найти расстояние \(d\) от точки подвеса шарика до плоскости его вращения. Закон гласит, что кинетическая энергия вращения должна оставаться постоянной. Формула для кинетической энергии вращения выглядит так: \(E = \frac{1}{2} I \omega^2\), где \(E\) - кинетическая энергия вращения, \(I\) - момент инерции и \(\omega\) - угловая скорость.

В данном случае, у нас изменилась угловая скорость, но радиус вращения остался постоянным. Тогда мы можем записать следующее уравнение: \(E_1 = E_2\), где \(E_1\) - кинетическая энергия при угловой скорости \(3 \, рад/с\), а \(E_2\) - кинетическая энергия при угловой скорости \(4 \, рад/с\).

Мы можем рассчитать \(E_1\) следующим образом: \(E_1 = \frac{1}{2} I_1 \left(\frac{3}{1}\right)^2\), где \(I_1\) - момент инерции при угловой скорости \(3 \, рад/с\). Как мы знаем, момент инерции \(I\) для шарика с массой \(m\) и радиусом \(r\) выражается как \(I = \frac{2}{5} m r^2\).

Теперь мы можем записать \(\frac{1}{2} I_1 \left(\frac{3}{1}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot\frac{2}{5} m r^2 \cdot\left(\frac{3}{1}\right)^2\).

Также мы можем рассчитать \(E_2\) аналогичным образом: \(E_2 = \frac{1}{2} I_2 \left(\frac{4}{1}\right)^2\), где \(I_2\) - момент инерции при угловой скорости \(4 \, рад/с\). Таким образом, у нас есть уравнение \(\frac{1}{2} I_2 \left(\frac{4}{1}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot\frac{2}{5} m r^2 \cdot\left(\frac{4}{1}\right)^2\).

Нам нужно найти величину \(d\), которая является расстоянием от точки подвеса шарика до плоскости его вращения. Это можно сделать, используя разность энергий вращения \(\Delta E = E_2 - E_1\) и выражение для кинетической энергии через момент инерции и угловую скорость.

Тогда \(\Delta E = \frac{1}{2} I_2 \left(\frac{4}{1}\right)^2 - \frac{1}{2} I_1 \left(\frac{3}{1}\right)^2\).

Подставляя значения моментов инерции и результатов вычислений, получаем \(\Delta E = \frac{1}{2} \cdot\frac{2}{5} m r^2 \cdot\left(\frac{4}{1}\right)^2 - \frac{1}{2} \cdot\frac{2}{5} m r^2 \cdot\left(\frac{3}{1}\right)^2\).

Упростив это уравнение, мы получаем \(\Delta E = \frac{8}{5} m r^2 - \frac{9}{5} m r^2 = -\frac{1}{5} m r^2\).

Таким образом, мы имеем \(\Delta E = -\frac{1}{5} m r^2\).

Закон сохранения энергии вращательного движения гласит, что разность энергий должна быть равной работе трения \(W\): \(\Delta E = W\).

Тогда, с учетом того, что работа трения равна перемещению \(d\) умноженному на силу трения \(F\), которая выражается как произведение массы \(m\) на центростремительное ускорение \(a\), у нас есть \(\Delta E = -\frac{1}{5} m r^2 = W = F \cdot d\).

Подставляя известные значения, получаем \(-\frac{1}{5} m r^2 = m \cdot a \cdot d\).

Наконец, решая это уравнение относительно \(d\), получаем следующее: \(d = -\frac{1}{5} \cdot \frac{r^2}{a}\).

Подставив значения радиуса \(r = 1 \, см\) и ускорения \(a = 9 \, см/с^2\), мы получаем \(d = -\frac{1}{5} \cdot \frac{1^2}{9} = -\frac{1}{45} \, см\).

Таким образом, расстояние от точки подвеса шарика до плоскости его вращения составляет \(-\frac{1}{45} \, см\).