Какое уравнение движения груза с массой 1 кг, подвешенного на пружине с жесткостью 100 Н/м, описывает его колебания

Pugayuschiy_Pirat_9811

46

Для начала, уравнение движения груза на пружине можно представить следующим образом: \(m \cdot \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0\), где \(m\) - масса груза, \(x\) - смещение груза от положения равновесия, \(t\) - время, \(k\) - жесткость пружины.

В данной задаче у нас заданы масса груза (\(m = 1 \, \text{кг}\)), амплитуда колебаний (\(A = 10 \, \text{см}\)) и жесткость пружины (\(k = 100 \, \text{Н/м}\)). Нашей целью является определение уравнения движения груза, описывающего его колебания.

Для начала, необходимо выразить амплитуду колебаний в терминах смещения груза (\(x\)). Амплитуда определяется как наибольшее значение модуля смещения от положения равновесия. В данном случае, амплитуда равняется половине периода колебаний. Так как амплитуда дана в сантиметрах, переведем ее в метры: \(A = 0.1 \, \text{м}\).

Учитывая это, мы можем переписать уравнение движения, заменяя \(A\) на \(x\). Получаем: \(m \cdot \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0\).

Теперь, чтобы определить зависимость изменения силы от времени (\(f = f(t)\)), мы можем использовать второй закон Ньютона. Второй закон Ньютона утверждает, что сила, действующая на тело, пропорциональна ускорению этого тела. Ускорение представляет собой вторую производную смещения \(x\) по отношению к времени \(t\). Таким образом, у нас есть \(F = m \cdot \frac{d^2x}{dt^2}\). Подставляя это в уравнение движения, получим \(F + kx = 0\).

Теперь рассмотрим наибольшую величину силы. В данном случае, наибольшая величина силы достигается при наибольшем смещении груза от положения равновесия, то есть при \(x = A\). Так как \(F + kx = 0\), получим \(F = -kA\). Подставляя известные значения, получим \(F = -100 \, \text{Н/м} \cdot 0.1 \, \text{м} = -10 \, \text{Н}\). Заметим, что сила направлена противоположно смещению груза от положения равновесия.

Наконец, определим значение силы через 1/6 периода. Период колебаний можно определить как время, за которое груз совершает одно полное колебание. В данном случае, нам не дано значение периода. Однако, мы знаем, что период колебаний обратно пропорционален частоте колебаний. Частоту колебаний можно определить как обратную величину периода (\(f = \frac{1}{T}\)).

По определению, 1/6 периода составляет (\(T/6\)). В таком случае, время \(t\) после истечения 1/6 периода составляет \((T/6)\).

Теперь нам нужно определить смещение груза в этот момент времени. Смещение груза от положения равновесия можно описать следующим образом: \(x(t) = A \cdot \cos(\omega t)\), где \(\omega\) - угловая частота, к которой мы можем получить доступ через \(\omega = 2\pi f\).

Подставляя известные значения, получим \(x(t) = A \cdot \cos(2\pi ft)\). В нашем случае, \(A = 0.1 \, \text{м}\) и \(f\) - частота колебаний. Зная, что \(f = \frac{1}{T}\), можем записать \(x(t) = 0.1 \cdot \cos\left(2 \pi \frac{1}{T} \cdot \frac{T}{6}\right)\).

Сокращая выражение, получим \(x(t) = 0.1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0.05 \, \text{м}\).

Теперь, чтобы найти значение силы в этот момент, мы снова используем уравнение движения \(F + kx = 0\). Подставляя значения, получим \(F + 100 \cdot 0.05 = 0\). Решая данное уравнение, мы найдем значение силы, равное \(F = -5 \, \text{Н}\). Здесь также отметим, что сила направлена противоположно смещению груза от положения равновесия.

Таким образом, уравнение движения груза с массой 1 кг, подвешенного на пружине с жесткостью 100 Н/м, описывающее его колебания с амплитудой 10 см, записывается как \(m \cdot \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0\).

Зависимость изменения силы (\(f = f(t)\)) от времени определяется уравнением \(F + kx = 0\).

Наибольшая величина силы равна -10 Н.

Значение силы через 1/6 периода равно -5 Н.