Какое уравнение можно составить для сторон треугольника, если известны середины этих сторон, M1(2; 1), M2(5; 3), M3(3

Луна

3

Для составления уравнения сторон треугольника, зная координаты их середин, мы можем использовать следующую логику.

1. Вычислим координаты вершин треугольника, используя информацию о серединах сторон.
Для этого удобно воспользоваться формулой середины отрезка:
\[M = \left(\frac{{x_1+x_2}}{2}, \frac{{y_1+y_2}}{2}\right)\]
Применим эту формулу для каждой стороны:
Для стороны \(M_1M_2\) координаты вершины будут:
\[\left(\frac{{2+5}}{2}, \frac{{1+3}}{2}\right) = (3.5, 2)\]
Для стороны \(M_1M_3\) координаты вершины будут:
\[\left(\frac{{2+3}}{2}, \frac{{1+(-4)}}{2}\right) = (2.5, -1.5)\]
Для стороны \(M_2M_3\) координаты вершины будут:
\[\left(\frac{{5+3}}{2}, \frac{{3+(-4)}}{2}\right) = (4, -0.5)\]

2. Далее, используя найденные координаты вершин треугольника, мы можем составить уравнения сторон треугольника в общем виде. Заметим, что уравнение прямой может быть записано в виде \(Ax + By + C = 0\), где \(A\), \(B\) и \(C\) - константы.

Уравнение для стороны \(M_1M_2\):
Зная точку \(M_1(2,1)\) и \(M_2(5,3)\), можем составить уравнение прямой, проходящей через эти точки.
Для этого вычислим коэффициенты \(A\), \(B\) и \(C\) из уравнения прямой.
Подставляем координаты \(M_1\) в уравнение: \(2A + B + C = 0\) (1)
Подставляем координаты \(M_2\) в уравнение: \(5A + 3B + C = 0\) (2)

Решим полученную систему уравнений. Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), получаем:
\[3A + 2B = 0\]
Допустим, что мы возьмем \(A = 2\), тогда \(B = -3\).
Подставим найденные значения \(A\) и \(B\) в уравнение (1):
\[2(2) + (-3) + C = 0\]
\[4 - 3 + C = 0\]
\[C = -1\]
Таким образом, уравнение для стороны \(M_1M_2\) треугольника будет: \(2x - 3y - 1 = 0\)

Аналогично поступим с остальными сторонами треугольника:

Уравнение для стороны \(M_1M_3\):
Используем точку \(M_1(2,1)\) и \(M_3(3,-4)\). Подставим координаты в уравнение:
\(2A - B + C = 0\) (3)
\(3A - 4B + C = 0\) (4)

Вычитаем из уравнения (4) уравнение (3):
\[A - 3B = 0\]
Возьмем \(A = 3\), тогда \(B = 1\).
Подставляем значения \(A\) и \(B\) в уравнение (3):
\[2(3) - 1 + C = 0\]
\[6 - 1 + C = 0\]
\[C = -5\]
Получаем уравнение для стороны \(M_1M_3\): \(6x - y - 5 = 0\)

Уравнение для стороны \(M_2M_3\):
Используем точку \(M_2(5,3)\) и \(M_3(3,-4)\). Подставим координаты в уравнение:
\(5A - B + C = 0\) (5)
\(3A - 4B + C = 0\) (6)

Вычитаем из уравнения (6) уравнение (5):
\[2A + 3B = 0\]
Возьмем \(A = -3\), тогда \(B = 2\).
Подставляем значения \(A\) и \(B\) в уравнение (5):
\[2(-3) + 2 + C = 0\]
\[-6 + 2 + C = 0\]
\[C = 4\]
Получаем уравнение для стороны \(M_2M_3\): \(-6x + 2y + 4 = 0\)

Итак, уравнения сторон треугольника будут:
Сторона \(M_1M_2\): \(2x - 3y - 1 = 0\)
Сторона \(M_1M_3\): \(6x - y - 5 = 0\)
Сторона \(M_2M_3\): \(-6x + 2y + 4 = 0\)

Таким образом, мы составили уравнения сторон треугольника по известным серединам этих сторон и объяснили каждый шаг решения задачи.