Яким чином можна обчислити об єм піраміди, яка має ромбічну основу зі стороною ‎√3 і кутом 30 градусів? Грані

Тропик

5

Для розв"язання цієї задачі, нам потрібно спочатку знайти площу основи ромба. Площа ромба може бути обчислена за формулою:

\[S_{\text{основи}} = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2},\]

де \(d_1\) та \(d_2\) - діагоналі ромба.

Оскільки сторона ромба дорівнює \(\sqrt{3}\), ми можемо обчислити діагоналі з використанням трикутника, утвореного стороною та кутом 30 градусів.

Спочатку розділимо ромб на два прямокутники, провівши діагоналі:

\[
\begin{array}{ccc}
\
& \\
\ & \
\end{array}
\]

Утворені прямокутники мають сторони \(\frac{{\sqrt{3}}}{2}\) та \(\frac{1}{2}\). Діагональ прямокутника, що містить гострий кут ромба, можна знайти за допомогою теореми Піфагора:

\[d_1 = \sqrt{{\left(\frac{{\sqrt{3}}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}} = \frac{{\sqrt{3}}}{2}.\]

Таким же способом знайдемо другу діагональ:

\[d_2 = \frac{{\sqrt{3}}}{2}.\]

Тепер ми можемо обчислити площу основи ромба:

\[S_{\text{основи}} = \frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{2} = \frac{{3}}{4}.\]

Далі, щоб обчислити об"єм піраміди, необхідно помножити площу основи на висоту піраміди. Висота піраміди може бути знайдена за теоремою Піфагора, використовуючи трикутник, утворений стороною ромба та площиною, нахиленим під кутом 60 градусів. Утворений трикутник є прямокутним:

\[
\begin{array}{ccc}
\ & \\
\ & \
\end{array}
\]

За теоремою Піфагора, ми маємо:

\[h = \sqrt{{\left(\frac{{\sqrt{3}}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}} = \frac{{\sqrt{3}}}{2}.\]

Отже, висота піраміди \(h = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\).

Зрештою, об"єм піраміди може бути знайдений за наступною формулою:

\[V = \frac{{S_{\text{основи}} \cdot h}}{3} = \frac{{\frac{{3}}{4} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{3} = \frac{{\sqrt{3}}}{8}.\]

Отже, об"єм піраміди з ромбічною основою зі стороною \(\sqrt{3}\) і кутом 30 градусів дорівнює \(\frac{{\sqrt{3}}}{8}\).

Нижче наведено малюнок, який допоможе вам краще уявити собі геометричну форму піраміди:

    /\

   /__\

  /\  /\

 /  \/  \

/________\

Сподіваюсь, ця інформація була корисною та зрозумілою для вас!