Какое уравнение прямой ax+by+c=0 проходит через точки A(2;4) и B(8;7), при этом все точки этой прямой находятся

Магия_Реки

61

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для расстояния между точкой и прямой.

Формула для расстояния \(d\) между точкой \((x_0, y_0)\) и прямой \(ax + by + c = 0\) задается следующим образом:

\[d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]

Нам даны две точки \(A(2, 4)\) и \(B(8, 7)\), и нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через эти точки и такой, что все точки на этой прямой находятся на равном расстоянии от \(A\) и \(B\).

Пусть уравнение искомой прямой будет \(ax + by + c = 0\).

1. Расстояние от точки \(A\) до прямой равно расстоянию от точки \(B\) до прямой, и мы можем записать это в виде уравнения:

\[\frac{|a \cdot 2 + b \cdot 4 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|a \cdot 8 + b \cdot 7 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]

2. Мы также можем записать уравнение для прямой, проходящей через точки \(A\) и \(B\), подставив их координаты в уравнение:

\[2a + 4b + c = 0\]
\[8a + 7b + c = 0\]

3. Подставим уравнения для коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\) в уравнение расстояния и упростим его:

\[\frac{|(2a + 4b + c) \cdot 2 + (2b + 4b + c) \cdot 4 + c|}{\sqrt{(2a + 4b + c)^2 + (2b + 4b + c)^2}} = \frac{|(8a + 7b + c) \cdot 8 + (8b + 7b + c) \cdot 7 + c|}{\sqrt{(8a + 7b + c)^2 + (8b + 7b + c)^2}}\]

\[\frac{|10a + 20b + 2c|}{\sqrt{20a^2 + 40b^2 + 4c^2}} = \frac{|64a + 63b + 9c|}{\sqrt{113a^2 + 113b^2 + 18c^2}}\]

4. Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем избавиться от знака модуля, возведя оба выражения в квадрат:

\[(10a + 20b + 2c)^2 \cdot (113a^2 + 113b^2 + 18c^2) = (64a + 63b + 9c)^2 \cdot (20a^2 + 40b^2 + 4c^2)\]

5. Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[1130a^4 + 2260a^2b^2 + 2260a^2c^2 + 4520ab^2c + 4520ac^3 + 4520b^2c^2 + 113b^4 + 452b^3c + 113b^2c^2 + 18c^4\]
\[= 400a^4 + 800a^2b^2 + 80ab^3 + 1600a^2c^2 + 160b^2c^2 + 16c^4 + 4032a^2b + 1440ab^2c + 5760ac^2 + 567b^3 + 2016b^2c + 324bc^2 + 81c^3\]

6. Теперь соберем все слагаемые в левой части уравнения и выразим \(c\) через \(a\) и \(b\):

\[1130a^4 + 808a^2b^2 + 2088a^2c^2 + 4480ab^2c + 4447b^2c^2 + 113b^4 + 2996ab^3 + 392b^3c + 180c^4 + 4032a^2b + 1440ab^2c + 5760ac^2 + 567b^3 + 2016b^2c + 324bc^2 + 81c^3 = 0\]

7. Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки \(A(2, 4)\) и \(B(8, 7)\) и состоящей из точек, находящихся на равном расстоянии от \(A\) и \(B\), равно:

\[1130a^4 + 808a^2b^2 + 2088a^2c^2 + 4480ab^2c + 4447b^2c^2 + 113b^4 + 2996ab^3 + 392b^3c + 180c^4 + 4032a^2b + 1440ab^2c + 5760ac^2 + 567b^3 + 2016b^2c + 324bc^2 + 81c^3 = 0\]

Таким образом, искомое уравнение прямой, проходящей через точки \(A(2, 4)\) и \(B(8, 7)\) и состоящей из точек, находящихся на равном расстоянии от \(A\) и \(B\), имеет вид:

\[1130a^4 + 808a^2b^2 + 2088a^2c^2 + 4480ab^2c + 4447b^2c^2 + 113b^4 + 2996ab^3 + 392b^3c + 180c^4 + 4032a^2b + 1440ab^2c + 5760ac^2 + 567b^3 + 2016b^2c + 324bc^2 + 81c^3 = 0\]

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять способ нахождения уравнения прямой, проходящей через точки \(A(2, 4)\) и \(B(8, 7)\) и состоящей из точек, находящихся на равном расстоянии от \(A\) и \(B\). Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.