Какое уравнение прямой ax+by+c=0 проходит через точки A(5;3) и B(8;10) и имеет одинаковые расстояния до этих точек?

Маруся

64

Хорошо, давайте решим задачу по заданной формуле прямой \(ax+by+c=0\) и найдем уравнение прямой, которая проходит через точки A(5;3) и B(8;10), и имеет одинаковые расстояния до этих точек.

Для начала, определим координаты точек A и B: A(5;3) и B(8;10).

Чтобы найти уравнение прямой, которая проходит через эти точки, нам необходимо найти значения коэффициентов a, b и c.

Для этого воспользуемся двумя фактами:

1. Если точка P(x,y) лежит на прямой с уравнением \(ax+by+c=0\), то подставив координаты этой точки в уравнение, мы получим верное равенство. То есть, \(ax+by+c=0\) должно выполняться для точек A и B.

2. Расстояние между точкой A и прямой \(ax+by+c=0\) равно расстоянию между точкой B и этой же прямой. Это означает, что если мы найдем расстояние от точек A и B до прямой и приравняем его, то получим еще одно уравнение, которое поможет нам определить значения a, b и c.

Давайте приступим к решению.

1. Подставим координаты точки A(5;3) в уравнение прямой \(ax+by+c=0\):

\(a \cdot 5 + b \cdot 3 + c = 0\)

2. Подставим координаты точки B(8;10) в уравнение прямой \(ax+by+c=0\):

\(a \cdot 8 + b \cdot 10 + c = 0\)

3. Теперь найдем расстояние от точки A до прямой \(ax+by+c=0\). Для этого воспользуемся формулой для расстояния от точки до прямой:

\[
d = \frac{{|ax_0+by_0+c|}}{{\sqrt{{a^2+b^2}}}}
\]

Где \(x_0\) и \(y_0\) - координаты точки A.

4. Так как расстояние от точки A до прямой должно быть равно расстоянию от точки B до этой же прямой, мы можем записать следующее уравнение:

\[
\frac{{|a \cdot 5 + b \cdot 3 + c|}}{{\sqrt{{a^2+b^2}}}} = \frac{{|a \cdot 8 + b \cdot 10 + c|}}{{\sqrt{{a^2+b^2}}}}
\]

5. Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{cases}
a \cdot 5 + b \cdot 3 + c = 0 \\
\frac{{|a \cdot 5 + b \cdot 3 + c|}}{{\sqrt{{a^2+b^2}}}} = \frac{{|a \cdot 8 + b \cdot 10 + c|}}{{\sqrt{{a^2+b^2}}}}
\end{cases}
\]

6. Решим эту систему уравнений, чтобы найти значения a, b и c.