Какое ускорение свободного падения на поверхности планеты радиусом 4000 км, при которой первая космическая скорость

Павел

46

Ускорение свободного падения на поверхности планеты можно вычислить, используя формулу:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\]

где \(g\) - ускорение свободного падения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты, \(r\) - радиус планеты.

В данной задаче известны \(r\) и \(v\), поэтому нам понадобится дополнительная формула для нахождения \(M\) по первой космической скорости:

\[v = \sqrt{\frac{{2 \cdot G \cdot M}}{{r}}}\]

Чтобы решить задачу, мы сначала найдем \(М\), а затем используем его для вычисления \(g\).

1. Нахождение массы планеты (\(M\)):
Используем формулу для первой космической скорости и подставим известные значения:
\[4 \, \text{км/с} = \sqrt{\frac{{2 \cdot G \cdot M}}{{4000 \, \text{км}}}}\]

Для удобства, возведем обе части уравнения в квадрат:
\[16 \, \text{км}^2/\text{с}^2 = \frac{{2 \cdot G \cdot M}}{4000 \, \text{км}}\]

Теперь избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на \(4000 \, \text{км}\):
\[16 \, \text{км}^2/\text{с}^2 \cdot 4000 \, \text{км} = 2 \cdot G \cdot M\]

Умножим числа:
\[64 \, \text{км}^2/\text{с}^2 \cdot \text{км} = 2 \cdot G \cdot M\]

Выразим \(M\):
\[M = \frac{{64 \, \text{км}^2/\text{с}^2 \cdot \text{км}}}{{2 \cdot G}}\]

2. Нахождение ускорения свободного падения (\(g\)):
Теперь мы знаем \(M\) и можем использовать его для вычисления \(g\) по первой формуле:
\[g = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\]

Подставим известные значения:
\[g = \frac{{G \cdot \left( \frac{{64 \, \text{км}^2/\text{с}^2 \cdot \text{км}}}{{2 \cdot G}} \right)}}{{(4000 \, \text{км})^2}}\]

Сократим подобные величины и числа:
\[g = \frac{{32 \, \text{км}^3/\text{с}^2}}}{{4000^2 \, \text{км}^2}}\]

Упростим дробь:
\[g = \frac{{32}}{{4000^2}} \, \text{км/с}^2\]

Теперь можно произвести численные вычисления:
\[g = \frac{{32}}{{4000^2}} \approx 0.000002 \, \text{км/с}^2\]

Поэтому ускорение свободного падения на поверхности планеты радиусом 4000 км, при которой первая космическая скорость составляет 4 км/с, составляет примерно 0.000002 км/с².