Какое условие должно выполняться для переменной y, чтобы у´´ ≥ 0? При этом y=-1/9 sin⁡3x-x^2/2

Babochka_3320

14

Для того чтобы \(y"" \geq 0\), у нас должно быть выполнено определенное условие для переменной \(y\). Давайте разберемся, как его найти.

У нас дано выражение для \(y\): \(y = -\frac{1}{9} \sin{3x} - \frac{x^2}{2}\). Чтобы найти вторую производную, нам нужно дважды продифференцировать это выражение по переменной \(x\). После этого мы проверим знак второй производной.

Давайте начнем:

1. Найдем первую производную, \(y"\):
\[y" = -\frac{1}{9} \cdot \frac{d}{dx} (\sin{3x}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)\]
Для нахождения производной от синуса мы будем использовать цепное правило, которое гласит: \(\frac{d}{dx}(\sin{u}) = \cos{u} \cdot \frac{du}{dx}\). В данном случае \(u = 3x\). Получаем:
\[y" = -\frac{1}{9} \cdot \cos{3x} \cdot \frac{d}{dx}(3x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)\]

2. Продифференцируем \(3x\) и \(x^2\):
\[y" = -\frac{1}{9} \cdot \cos{3x} \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot 2x\]
\[y" = -\frac{1}{3} \cdot \cos{3x} - x\]

3. Теперь найдем вторую производную, \(y""\):
\[y"" = \frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{3} \cdot \cos{3x} - x\right)\]
\[y"" = -\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}(\cos{3x}) - \frac{d}{dx}(x)\]

4. Воспользуемся цепным правилом для производной синуса:
\[\frac{d}{dx}(\cos{u}) = -\sin{u} \cdot \frac{du}{dx}\]
В данном случае \(u = 3x\). Получаем:
\[y"" = -\frac{1}{3} \cdot (-\sin{3x}) \cdot \frac{d}{dx}(3x) - 1\]

5. Продифференцируем \(3x\):
\[y"" = \frac{1}{3} \cdot \sin{3x} \cdot 3 - 1\]
\[y"" = \sin{3x} - 1\]

Теперь мы получили выражение для второй производной \(y""\).

Чтобы условие \(y"" \geq 0\) выполнялось, вторая производная должна быть неотрицательной. То есть, \(\sin{3x} - 1 \geq 0\).

Давайте решим неравенство:
\[\sin{3x} - 1 \geq 0\]

Добавим 1 к обеим частям:
\[\sin{3x} \geq 1\]

Теперь найдем значения \(x\), для которых выполняется это неравенство. Мы знаем, что \(\sin{3x} = 1\) при \(3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot k\), где \(k\) - целое число. Решим это равенство относительно \(x\):
\[3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot k\]
\[x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} \cdot k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Таким образом, чтобы условие \(y"" \geq 0\) выполнялось, переменная \(x\) должна быть в диапазоне значениями \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} \cdot k\), где \(k\) - целое число.

Надеюсь, ответ был подробным и понятным для вас.