Какое условие должно выполняться для переменной y, чтобы у´´ ≥ 0? При этом y=-1/9 sin⁡3x-x^2/2

  • 40
Какое условие должно выполняться для переменной y, чтобы у´´ ≥ 0? При этом y=-1/9 sin⁡3x-x^2/2.
Babochka_3320
14
Для того чтобы y""0, у нас должно быть выполнено определенное условие для переменной y. Давайте разберемся, как его найти.

У нас дано выражение для y: y=19sin3xx22. Чтобы найти вторую производную, нам нужно дважды продифференцировать это выражение по переменной x. После этого мы проверим знак второй производной.

Давайте начнем:

1. Найдем первую производную, y":
y"=19ddx(sin3x)12ddx(x2)
Для нахождения производной от синуса мы будем использовать цепное правило, которое гласит: ddx(sinu)=cosududx. В данном случае u=3x. Получаем:
y"=19cos3xddx(3x)12ddx(x2)

2. Продифференцируем 3x и x2:
y"=19cos3x3122x
y"=13cos3xx

3. Теперь найдем вторую производную, y"":
y""=ddx(13cos3xx)
y""=13ddx(cos3x)ddx(x)

4. Воспользуемся цепным правилом для производной синуса:
ddx(cosu)=sinududx
В данном случае u=3x. Получаем:
y""=13(sin3x)ddx(3x)1

5. Продифференцируем 3x:
y""=13sin3x31
y""=sin3x1

Теперь мы получили выражение для второй производной y"".

Чтобы условие y""0 выполнялось, вторая производная должна быть неотрицательной. То есть, sin3x10.

Давайте решим неравенство:
sin3x10

Добавим 1 к обеим частям:
sin3x1

Теперь найдем значения x, для которых выполняется это неравенство. Мы знаем, что sin3x=1 при 3x=π2+2πk, где k - целое число. Решим это равенство относительно x:
3x=π2+2πk
x=π6+2π3k,kZ

Таким образом, чтобы условие y""0 выполнялось, переменная x должна быть в диапазоне значениями x=π6+2π3k, где k - целое число.

Надеюсь, ответ был подробным и понятным для вас.