Какое условие должно выполняться для переменной y, чтобы у´´ ≥ 0? При этом y=-1/9 sin⁡3x-x^2/2

Babochka_3320

14

Для того чтобы $y""\ge 0$, у нас должно быть выполнено определенное условие для переменной $y$. Давайте разберемся, как его найти.

У нас дано выражение для $y$: $y=-\frac{1}{9}\sin 3x-\frac{x^2}{2}$. Чтобы найти вторую производную, нам нужно дважды продифференцировать это выражение по переменной $x$. После этого мы проверим знак второй производной.

Давайте начнем:

1. Найдем первую производную, $y"$:
$$y"=-\frac{1}{9}\cdot \frac{d}{dx}(\sin 3x)-\frac{1}{2}\cdot \frac{d}{dx}(x^2)$$
Для нахождения производной от синуса мы будем использовать цепное правило, которое гласит: $\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot \frac{du}{dx}$. В данном случае $u=3x$. Получаем:
$$y"=-\frac{1}{9}\cdot \cos 3x\cdot \frac{d}{dx}(3x)-\frac{1}{2}\cdot \frac{d}{dx}(x^2)$$

2. Продифференцируем $3x$ и $x^2$:
$$y"=-\frac{1}{9}\cdot \cos 3x\cdot 3-\frac{1}{2}\cdot 2x$$
$$y"=-\frac{1}{3}\cdot \cos 3x-x$$

3. Теперь найдем вторую производную, $y""$:
$$y""=\frac{d}{dx}(-\frac{1}{3}\cdot \cos 3x-x)$$
$$y""=-\frac{1}{3}\cdot \frac{d}{dx}(\cos 3x)-\frac{d}{dx}(x)$$

4. Воспользуемся цепным правилом для производной синуса:
$$\frac{d}{dx}(\cos u)=-\sin u\cdot \frac{du}{dx}$$
В данном случае $u=3x$. Получаем:
$$y""=-\frac{1}{3}\cdot (-\sin 3x)\cdot \frac{d}{dx}(3x)-1$$

5. Продифференцируем $3x$:
$$y""=\frac{1}{3}\cdot \sin 3x\cdot 3-1$$
$$y""=\sin 3x-1$$

Теперь мы получили выражение для второй производной $y""$.

Чтобы условие $y""\ge 0$ выполнялось, вторая производная должна быть неотрицательной. То есть, $\sin 3x-1\ge 0$.

Давайте решим неравенство:
$$\sin 3x-1\ge 0$$

Добавим 1 к обеим частям:
$$\sin 3x\ge 1$$

Теперь найдем значения $x$, для которых выполняется это неравенство. Мы знаем, что $\sin 3x=1$ при $3x=\frac{\pi }{2}+2\pi \cdot k$, где $k$ - целое число. Решим это равенство относительно $x$:
$$3x=\frac{\pi }{2}+2\pi \cdot k$$
$$x=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}\cdot k,k\in \mathbb{Z}$$

Таким образом, чтобы условие $y""\ge 0$ выполнялось, переменная $x$ должна быть в диапазоне значениями $x=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}\cdot k$, где $k$ - целое число.

Надеюсь, ответ был подробным и понятным для вас.