Подтвердите, что для всех натуральных значений n, выражение 3 * 8^2n+1 + 62 * 21^n делится нацело

Zagadochnyy_Kot

39

Для подтверждения того, что выражение \(3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21^n\) делится нацело для всех натуральных значений \(n\), нам потребуется использовать доказательство по индукции.

Первым шагом доказательства является проверка базового случая, который в данном случае будет \(n = 1\). Подставим \(n = 1\) в выражение и убедимся, что оно делится нацело:

\[3 \cdot 8^{2(1)+1} + 62 \cdot 21^{1} = 3 \cdot 8^3 + 62 \cdot 21 = 3 \cdot 512 + 62 \cdot 21 = 1536 + 1302 = 2838.\]

Таким образом, при \(n = 1\) выражение делится нацело.

Далее, предположим, что выражение делится нацело для произвольного, но фиксированного, значения \(k\), т.е \(3 \cdot 8^{2k+1} + 62 \cdot 21^{k}\) делится нацело.

Теперь рассмотрим значение \(n = k+1\) и попытаемся выразить это значение через предыдущий базовый случай. Запишем:

\[3 \cdot 8^{2(k+1)+1} + 62 \cdot 21^{k+1}.\]

Мы знаем, что \(8^{2(k+1)+1} = 8^{2k+3} = 8^3 \cdot 8^{2k} = 512 \cdot 8^{2k}\). Также, \(21^{k+1} = 21 \cdot 21^k\). Подставим эти значения в выражение:

\[3 \cdot 8^{2(k+1)+1} + 62 \cdot 21^{k+1} = 3 \cdot 512 \cdot 8^{2k} + 62 \cdot 21 \cdot 21^k.\]

Мы можем записать первое слагаемое как \(1536 \cdot 8^{2k}\) и второе слагаемое как \(62 \cdot (3 \cdot 21 \cdot 21^k)\).

Теперь заметим, что \(3 \cdot 21 = 63\), поэтому можно записать выражение следующим образом:

\[1536 \cdot 8^{2k} + 62 \cdot (3 \cdot 21 \cdot 21^k) = 1536 \cdot 8^{2k} + 62 \cdot 63 \cdot 21^k.\]

Мы знаем, что \(8^{2k}\) делится нацело, так как мы предположили, что такое происходит для значения \(k\). Кроме того, \(63 \cdot 21^k\) также делится нацело.

Исходя из предположения индукции, первое слагаемое делится нацело, а второе слагаемое также делится нацело. Сумма двух чисел, каждое из которых делится нацело, также делится нацело.

Таким образом, мы доказали, что выражение \(3 \cdot 8^{2n+1} + 62 \cdot 21^n\) делится нацело для всех натуральных значений \(n\). Пошагово разобрав каждый шаг, мы убедились в правильности этого заключения.