Какое значение функции Y=log8(4−4x−x2)+8 является максимальным?

Skvoz_Les

67

Для решения этой задачи, нам необходимо найти максимальное значение функции $Y$ при заданных условиях. Давайте разберемся по шагам:

Шаг 1: Найдите точку максимума функции $Y$.
Для этого возьмем производную функции $Y$ по переменной $x$ и найдем точки, где производная равна нулю. При этих значениях $x$ функция может иметь максимум или минимум.

$$\frac{dY}{dx}=\frac{d}{dx}({\log }_8(4-4x-x^2)+8)$$

Используем свойство производной логарифма:
$$\frac{1}{\ln (8)}\cdot \frac{d}{dx}(4-4x-x^2)=\frac{1}{\ln (8)}(-4-2x)$$

Теперь приравняем полученное выражение к нулю:
$$\frac{1}{\ln (8)}(-4-2x)=0$$

Разделим оба выражения на $\frac{1}{\ln (8)}$:
$$-4-2x=0$$

Шаг 2: Решите уравнение, чтобы найти значение $x$.

Добавим $4$ и разделим на $-2$:
$$-2x=4$$
$$x=-2$$

Шаг 3: Подставьте $x$ в исходную функцию, чтобы найти максимальное значение функции $Y$.

$$Y={\log }_8(4-4x-x^2)+8$$

Заменяем $x$ на $-2$:
$$Y={\log }_8(4-4(-2)-(-2{)}^2)+8$$
$$Y={\log }_8(4+8-4)+8$$
$$Y={\log }_8\left(8\right)+8$$
$$Y=1+8$$
$$Y=9$$

Таким образом, максимальное значение функции $Y$ равно $9$ при $x=-2$.