Какое значение функции Y=log8(4−4x−x2)+8 является максимальным?

Skvoz_Les

67

Для решения этой задачи, нам необходимо найти максимальное значение функции \(Y\) при заданных условиях. Давайте разберемся по шагам:

Шаг 1: Найдите точку максимума функции \(Y\).
Для этого возьмем производную функции \(Y\) по переменной \(x\) и найдем точки, где производная равна нулю. При этих значениях \(x\) функция может иметь максимум или минимум.

\[\frac{dY}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\log_8(4-4x-x^2)+8\right)\]

Используем свойство производной логарифма:
\[\frac{1}{\ln(8)} \cdot \frac{d}{dx}\left(4-4x-x^2\right) = \frac{1}{\ln(8)}\left(-4-2x\right)\]

Теперь приравняем полученное выражение к нулю:
\[\frac{1}{\ln(8)}\left(-4-2x\right) = 0\]

Разделим оба выражения на \(\frac{1}{\ln(8)}\):
\[-4-2x = 0\]

Шаг 2: Решите уравнение, чтобы найти значение \(x\).

Добавим \(4\) и разделим на \(-2\):
\[-2x = 4\]
\[x = -2\]

Шаг 3: Подставьте \(x\) в исходную функцию, чтобы найти максимальное значение функции \(Y\).

\[Y = \log_8(4-4x-x^2)+8\]

Заменяем \(x\) на \(-2\):
\[Y = \log_8\left(4-4(-2)-(-2)^2\right)+8\]
\[Y = \log_8\left(4+8-4\right)+8\]
\[Y = \log_8\left(8\right)+8\]
\[Y = 1+8\]
\[Y = 9\]

Таким образом, максимальное значение функции \(Y\) равно \(9\) при \(x = -2\).