Какое значение имеет a12 в арифметической прогрессии (аn), если известно, что а1 = 3 и сумма первых 12 членов равна

Сквозь_Песок

36

Для того чтобы найти значение \(a_{12}\) в арифметической прогрессии \((a_n)\), когда известно, что \(a_1 = 3\) и сумма первых 12 членов равна 564, нам понадобится несколько шагов.

1. Найдем разность прогрессии \(d\).
Мы знаем, что \(a_1 = 3\). Первый член арифметической прогрессии равен \(a_1\), и второй член равен \(a_1 + d\), третий член равен \(a_1 + 2d\), и так далее. Таким образом, разность прогрессии \(d\) равна разнице между любыми двумя соседними членами прогрессии.

2. Найдем сумму первых 12 членов прогрессии \(S_{12}\).
Мы знаем, что сумма первых 12 членов прогрессии равна 564. Это обозначается \(S_{12} = 564\).

3. Используем формулу для суммы \(S_{n}\) первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\]
Подставляя \(S_{12} = 564\) и \(a_1 = 3\), получаем:
\[564 = \frac{12}{2} \cdot (2 \cdot 3 + (12-1)d)\]

4. Упростим выражение:
\(564 = 6 \cdot (6 + 11d)\)
\(564 = 36 + 66d\)
\(66d = 564 - 36\)
\(66d = 528\)

5. Решим уравнение для \(d\):
\(d = \frac{528}{66}\)
\(d = 8\)

6. Теперь, когда мы знаем разность прогрессии \(d = 8\), мы можем найти \(a_{12}\) с помощью формулы для общего члена арифметической прогрессии:
\(a_{n} = a_1 + (n-1)d\)
Подставляя \(a_1 = 3\) и \(n = 12\), получаем:
\(a_{12} = 3 + (12-1) \cdot 8\)
\(a_{12} = 3 + 11 \cdot 8\)
\(a_{12} = 3 + 88\)
\(a_{12} = 91\)

Таким образом, значение \(a_{12}\) в данной арифметической прогрессии равно 91.