Какое значение имеет длина AB в треугольнике ABC, если известно, что BC равно √6, угол А равен 60 градусов, а угол

Светлячок_В_Траве

39

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться теоремой синусов, которая устанавливает соотношение между сторонами треугольника и синусами соответствующих углов.

Согласно теореме синусов, отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно константе.
Формула теоремы синусов для данной задачи будет выглядеть следующим образом:

\[\frac{AB}{\sin{C}} = \frac{BC}{\sin{A}}\]

Теперь мы можем подставить известные значения в данную формулу и решить ее для длины стороны AB.

У нас есть следующие значения:
BC = √6, A = 60 градусов, C = 45 градусов.

Заменим их в формуле и решим уравнение:

\[\frac{AB}{\sin{45}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin{60}}\]

Для начала, возьмем значения синуса 45 и 60 градусов. Синус 45 градусов равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), а синус 60 градусов равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Подставим эти значения в уравнение:

\[\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Для удобства, можем умножить обе части уравнения на \(\frac{2}{\sqrt{2}}\), чтобы избавиться от дробных знаменателей:

\[AB \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{6} \times \frac{2}{\sqrt{3}}\]

Раскроем оба выражения:

\[AB \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\]

Упростим дроби в обоих частях равенства:

\[AB \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]

\[AB \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{18}}{\sqrt{9}}\]

\[AB \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2 \times 3}}{3}\]

\[AB \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{3}\]

Получаем:

\[AB \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\]

Чтобы избавиться от множителя \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) на левой стороне равенства, умножим обе части уравнения на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[AB = \frac{2\sqrt{6}}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Раскроем произведение:

\[AB = \frac{2 \times \sqrt{6} \times \sqrt{2}}{3 \times 2}\]

\[AB = \frac{2 \sqrt{12}}{6}\]

\[AB = \frac{2 \times 2\sqrt{3}}{6}\]

\[AB = \frac{4\sqrt{3}}{6}\]

Раскроем дробь:

\[AB = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]

Таким образом, длина стороны AB равна \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\).