Какое значение имеет площадь фигуры в плоскости, ограниченной графиками уравнений y=1/x и y=-1/4x+5/4?

Морской_Корабль

6

Чтобы определить значение площади фигуры, ограниченной графиками уравнений \(y=1/x\) и \(y=-1/4x+5/4\), нам понадобится вычислить площади двух треугольников и одной трапеции.

Шаг 1: Найдем точки пересечения двух графиков, чтобы определить интервал, на котором будем вычислять площадь фигуры.

Для этого приравняем \(y\) в обоих уравнениях и решим систему уравнений:

\[\begin{cases}
y = 1/x \\
y = -1/4x + 5/4
\end{cases}\]

Выразим \(y\) из первого уравнения и подставим во второе:

\[-1/4x + 5/4 = 1/x\]

Умножим обе части уравнения на \(4x\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[-x + 5x = 4\]

Получаем уравнение:

\[4x^2 - x - 4 = 0\]

Шаг 2: Решим это квадратное уравнение, чтобы найти значения \(x\), где графики пересекаются.

Можем применить квадратное уравнение или воспользоваться онлайн-калькулятором для решения квадратных уравнений. Как результат, получим два значения \(x\):

\[x_1 = -1, x_2 = 1\]

Шаг 3: Найдем соответствующие значения \(y\) для каждого значения \(x\).

Подставим \(x_1 = -1\) в любое уравнение и найдем \(y_1\):

\[y_1 = 1/(-1) = -1\]

Подставим \(x_2 = 1\) в любое уравнение и найдем \(y_2\):

\[y_2 = 1/1 = 1\]

Шаг 4: Определим интервал, на котором будем находить площадь фигуры.

Фигура ограничена графиками двух уравнений \(y=1/x\) и \(y=-1/4x+5/4\) между точками \((-1,-1)\) и \((1,1)\).

Шаг 5: Разобьем фигуру на два треугольника и одну трапецию.

Треугольник 1: Основание - отрезок между точками \((-1,-1)\) и \((0,0)\), высота - отрезок между точкой \((0,0)\) и точкой \((1,1)\).

Треугольник 2: Основание - отрезок между точками \((0,0)\) и \((1,1)\), высота - отрезок между точкой \((0,0)\) и точкой \((-1,-1)\).

Трапеция: Основания - отрезки между точками \((-1,-1)\) и \((1,1)\), параллельные оси \(x\). Высота - отрезок между точкой \((-1,-1)\) и точкой \((1,1)\).

Шаг 6: Вычислим площади треугольников и трапеции.

Площадь треугольника равна произведению длины основания на высоту, деленную на 2.

Так как мы имеем два треугольника и одну трапецию, найдем площади каждой фигуры и сложим их.

Для треугольника 1:

\[S_1 = \frac{1 \cdot 1}{2} = \frac{1}{2}\]

Для треугольника 2:

\[S_2 = \frac{1 \cdot 1}{2} = \frac{1}{2}\]

Для трапеции:

\[S_{\text{трап}} = \frac{2 + 2 \cdot 1}{2} \cdot 1 = 3\]

Общая площадь фигуры:

\[S_{\text{фиг}} = S_1 + S_2 + S_{\text{трап}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 3 = 4\]

Таким образом, значение площади фигуры, ограниченной графиками уравнений \(y=1/x\) и \(y=-1/4x+5/4\), равно 4.