Какое значение имеет производная функции y=2cosx / sinx в точке x0=pi/4?

Sofya

8

Конечно! Для начала, давайте найдем производную функции \(y=2\frac{\cos x}{\sin x}\). Для этого нам понадобится использовать формулу производной частного функций, которая гласит:

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vu" - uv"}{v^2}\]

где \(u\) и \(v\) - это функции, а \(u"\) и \(v"\) - их соответственные производные.

Применяя эту формулу к нашей функции, мы получим:

\[\frac{d}{dx}\left(2\frac{\cos x}{\sin x}\right) = \frac{\sin x (-2\sin x) - \cos x (2\cos x)}{(\sin x)^2}\]

Упрощая выражение в числителе, получаем:

\[\frac{-2\sin^2 x - 2\cos^2 x}{(\sin x)^2} = \frac{-2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x)^2}\]

Используя тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), мы можем упростить это выражение еще больше:

\[\frac{-2}{(\sin x)^2}\]

Теперь у нас есть выражение для производной функции. Чтобы найти значение этой производной в точке \(x_0 = \frac{\pi}{4}\), мы должны подставить \(x_0\) вместо \(x\) в этом выражении:

\[\frac{-2}{(\sin \frac{\pi}{4})^2} = \frac{-2}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{-2}{\frac{1}{2}} = -4\]

Таким образом, значение производной функции \(y=2\frac{\cos x}{\sin x}\) в точке \(x_0=\frac{\pi}{4}\) равно -4.

Надеюсь, это решение понятно для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!