Какое значение имеет производная функции y=2cosx / sinx в точке x0=pi/4?

Sofya

8

Конечно! Для начала, давайте найдем производную функции $y=2\frac{\cos x}{\sin x}$. Для этого нам понадобится использовать формулу производной частного функций, которая гласит:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vu"-uv"}{v^2}$$

где $u$ и $v$ - это функции, а $u"$ и $v"$ - их соответственные производные.

Применяя эту формулу к нашей функции, мы получим:

$$\frac{d}{dx}\left(2\frac{\cos x}{\sin x}\right)=\frac{\sin x(-2\sin x)-\cos x(2\cos x)}{(\sin x{)}^2}$$

Упрощая выражение в числителе, получаем:

$$\frac{-2{\sin }^{2}x-2{\cos }^{2}x}{(\sin x{)}^2}=\frac{-2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}{(\sin x{)}^2}$$

Используя тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, мы можем упростить это выражение еще больше:

$$\frac{-2}{(\sin x{)}^2}$$

Теперь у нас есть выражение для производной функции. Чтобы найти значение этой производной в точке $x_0=\frac{\pi }{4}$, мы должны подставить $x_0$ вместо $x$ в этом выражении:

$$\frac{-2}{(\sin \frac{\pi }{4}{)}^2}=\frac{-2}{(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2}=\frac{-2}{\frac{1}{2}}=-4$$

Таким образом, значение производной функции $y=2\frac{\cos x}{\sin x}$ в точке $x_0=\frac{\pi }{4}$ равно -4.

Надеюсь, это решение понятно для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!