Известна вероятность события a: p(a) = 0,8. Рассмотрим дискретную случайную величину ξ, которая представляет собой

Dimon

46

Для начала давайте составим распределение случайной величины ξ, которая представляет собой количество появлений события a в трех опытах.

Пусть X обозначает количество появлений события a в трех опытах. Так как каждый опыт независим и вероятность события a равна 0,8 для каждого опыта, то мы можем использовать биномиальное распределение.

Биномиальное распределение для случайной величины ξ определяется параметрами n (количество опытов) и p (вероятность события a). В нашем случае, n = 3 и p = 0,8.

Распределение случайной величины ξ задается следующим образом:

P(ξ = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где C(n, k) обозначает количество сочетаний из n элементов по k.

Теперь мы можем вычислить распределение случайной величины ξ.

P(ξ = 0) = C(3, 0) * 0,8^0 * (1-0,8)^(3-0) = 1 * 1 * 0,2^3 = 0,008

P(ξ = 1) = C(3, 1) * 0,8^1 * (1-0,8)^(3-1) = 3 * 0,8 * 0,2^2 = 0,096

P(ξ = 2) = C(3, 2) * 0,8^2 * (1-0,8)^(3-2) = 3 * 0,8^2 * 0,2^1 = 0,384

P(ξ = 3) = C(3, 3) * 0,8^3 * (1-0,8)^(3-3) = 1 * 0,8^3 * 0,2^0 = 0,512

Теперь, когда у нас есть распределение случайной величины ξ, мы можем перейти к рассмотрению характеристик этой случайной величины.

Математическое ожидание m[ξ] определяется следующим образом:

m[ξ] = Σ(k * P(ξ = k))

где Σ означает сумму по всем значениям k.

m[ξ] = 0 * P(ξ = 0) + 1 * P(ξ = 1) + 2 * P(ξ = 2) + 3 * P(ξ = 3)

m[ξ] = 0 * 0,008 + 1 * 0,096 + 2 * 0,384 + 3 * 0,512

m[ξ] = 0 + 0,096 + 0,768 + 1,536

m[ξ] = 2,4

Теперь давайте рассчитаем дисперсию d[ξ]. Дисперсия определяется следующим образом:

d[ξ] = Σ((k - m[ξ])^2 * P(ξ = k))

d[ξ] = (0 - 2,4)^2 * P(ξ = 0) + (1 - 2,4)^2 * P(ξ = 1) + (2 - 2,4)^2 * P(ξ = 2) + (3 - 2,4)^2 * P(ξ = 3)

d[ξ] = (-2,4)^2 * 0,008 + (-1,4)^2 * 0,096 + (-0,4)^2 * 0,384 + (0,6)^2 * 0,512

d[ξ] = 5,76 * 0,008 + 1,96 * 0,096 + 0,16 * 0,384 + 0,36 * 0,512

d[ξ] = 0,04608 + 0,18816 + 0,06144 + 0,18432

d[ξ] = 0,479

Теперь рассчитаем среднее квадратическое отклонение σ, которое является квадратным корнем из дисперсии:

σ = √d[ξ] = √0,479

σ ≈ 0,692

Наконец, рассчитаем вероятность попадания в интервал p(|ξ – m[ξ]| < σ).

Для этого нам нужно определить значения, при которых |ξ – m[ξ]| меньше чем σ.

Для нашей случайной величины ξ это будет:

|ξ – 2,4| < 0,692

Теперь проверим, какие значения ξ удовлетворяют этому неравенству.

ξ – 2,4 < 0,692 => ξ < 2,4 + 0,692 => ξ < 3,092

и

ξ – 2,4 > -0,692 => ξ > 2,4 - 0,692 => ξ > 1,708

Из распределения случайной величины ξ, мы видим, что возможными значениями для ξ являются 0, 1, 2 и 3.

Теперь мы можем проверить, какие значения попадают в интервал (1,708 < ξ < 3,092):

Так как ξ может принимать только целочисленные значения, то значение ξ = 2 попадает в этот интервал.

Следовательно, вероятность попадания в интервал p(|ξ – m[ξ]| < σ) равна вероятности появления ξ = 2:

p(|ξ – m[ξ]| < σ) = P(ξ = 2) = 0,384

Таким образом, мы составили распределение случайной величины ξ, рассчитали ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность попадания в интервал. Задача решена.