Найдите все значения пары (a; b) реальных чисел a и b, которые удовлетворяют одновременно условиям a²+b²=20 и ab+6b=32

Vesna_4826

16

Для решения данной задачи нам необходимо найти все значения пары (a; b) реальных чисел a и b, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: \(a^2+b^2=20\) и \(ab+6b=32\).

Давайте начнем с решения второго уравнения: \(ab+6b=32\). Мы можем вынести общий множитель b из левой части уравнения и получить: \(b(a+6)=32\). Теперь у нас есть два варианта:

1. Если \(b\) равно нулю, то уравнение превращается в \(0(a+6)=32\), что не имеет решений, так как произведение любого числа на ноль равно нулю.

2. Если \(b\) не равно нулю, то мы можем делить обе части уравнения на \(b\): \(a+6=\frac{32}{b}\). Для того чтобы избавиться от скобки, вычтем 6 из обеих частей уравнения: \(a=\frac{32}{b}-6\).

Теперь у нас есть выражение для \(a\) через \(b\), подставим его в первое уравнение: \(a^2+b^2=20\). Вместо \(a\) подставим \(\frac{32}{b}-6\) и квадратом возведем:

\(\left(\frac{32}{b}-6\right)^2+b^2=20\)

Дальнейшие вычисления могут быть достаточно сложными, поэтому давайте упростим выражение сначала. Возведем \(\frac{32}{b}-6\) в квадрат:

\(\left(\frac{32}{b}-6\right)^2=\left(\frac{1024}{b^2}-\frac{192}{b}+36\right)\)

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение:

\(\left(\frac{1024}{b^2}-\frac{192}{b}+36\right)+b^2=20\)

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на \(b^2\):

\(1024-192b+36b^2+b^4=20b^2\)