Какое значение имеет QR, если DG параллельно QR и площадь треугольника BDG равна 54? Просмотри на фотографии

Raisa

15

Хорошо, чтобы решить эту задачу, мы должны использовать несколько основных свойств параллельных линий и треугольников.

Дано, что треугольник BDG имеет площадь, равную 54. Перед тем, как мы перейдем к поиску значения QR, давайте вспомним свойства параллельных линий и треугольников.

Во-первых, если одна пара сторон треугольника параллельна другой паре сторон, то соответственные стороны этих параллельных сторон пропорциональны. Это означает, что отношение длин одной пары сторон равно отношению длин другой пары сторон.

Теперь давайте обратим внимание на треугольник BDG и треугольник QDR. Они являются подобными треугольниками, потому что у них есть две параллельные стороны и один общий угол.

Отношение длины стороны BD к длине стороны QR должно быть таким же, как отношение длины стороны DG к стороне DR.

Предположим, что QR = x. Тогда отношение длин сторон BD к QR равно \(\frac{BD}{QR}\), а отношение длин сторон DG к DR равно \(\frac{DG}{DR}\).

Используя параллельность BD и QR, и подставляя известные значения, получим:
\[
\frac{BD}{QR} = \frac{DG}{DR}
\]

Теперь подставим известное значение площади треугольника BDG, равное 54. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}
\]

Мы знаем, что сторона BD является основанием треугольника BDG. Пусть высота треугольника BDG будет h.

Тогда получаем:
\[
54 = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h
\]
\[
h = \frac{2 \cdot 54}{BD}
\]

Мы также знаем, что сторона DG равна QR, поэтому подставим эти значения в уравнение:
\[
\frac{BD}{x} = \frac{DG}{x}
\]
\[
BD = DG
\]

Теперь мы можем записать уравнение отношения сторон:
\[
\frac{BD}{x} = \frac{DG}{x}
\]

Подставим известное значение h в это уравнение:
\[
\frac{BD}{x} = \frac{\frac{2 \cdot 54}{BD}}{x}
\]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной - стороной BD. Решим его.

Умножим обе стороны уравнения на x:
\[
BD = \frac{2 \cdot 54}{BD}
\]
\[
BD \cdot BD = 2 \cdot 54
\]
\[
BD^2 = 108
\]

Чтобы найти значение BD, возьмем квадратный корень из обеих сторон:
\[
BD = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}
\]

Итак, мы получили, что сторона BD равна \(6\sqrt{3}\), а также у нас было изначальное предположение, что QR = x. Теперь подставим значение стороны BD в уравнение, чтобы найти значение QR:

\[
QR = BD = 6\sqrt{3}
\]

Таким образом, значение QR равно \(6\sqrt{3}\).