Какое значение имеет выражение a(36a^2 - 25)(1 (6a+5)-1 6a-5

Zagadochnyy_Sokrovische_7559

22

Давайте разберем задачу по шагам. Нам нужно найти значение выражения \(a(36a^2 - 25)\left(\frac{1}{{6a+5}} - \frac{1}{{6a-5}}\right)\).

Шаг 1: Разложение на множители
Сначала раскроем скобки внутри величины \(36a^2 - 25\). Применим формулу разности квадратов, которая гласит: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).
Таким образом, \(36a^2 - 25 = (6a)^2 - 5^2 = (6a + 5)(6a - 5)\).
Теперь выражение станет: \(a((6a + 5)(6a - 5))\left(\frac{1}{{6a+5}} - \frac{1}{{6a-5}}\right)\).

Шаг 2: Упрощение дробей
Теперь рассмотрим дроби. Для упрощения дроби вида \(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\) мы должны найти общий знаменатель и выразить разность числителей в виде одной дроби.
Общим знаменателем для дробей \(\frac{1}{{6a+5}}\) и \(\frac{1}{{6a-5}}\) будет \((6a+5)(6a-5)\).
Теперь выражение примет следующий вид: \(a((6a + 5)(6a - 5))\left(\frac{(6a-5)-(6a+5)}{{(6a+5)(6a-5)}}\right)\).

Шаг 3: Упрощение числителя
Чтобы упростить числитель, выполним операции внутри скобок.
\((6a-5)-(6a+5)\) это то же самое, что и \(-1\cdot(6a+5) + (6a-5)\).
Сокращаем схожие слагаемые и получаем \(-1\cdot(6a+5) + (6a-5) = -6a - 5 + 6a - 5 = -10\).
Таким образом, числитель будет \(-10\).

Шаг 4: Окончательное упрощение
Теперь вставим числитель (-10) и знаменатель \((6a+5)(6a-5)\) в выражение.
Имеем: \(a((6a + 5)(6a - 5))\left(\frac{-10}{{(6a+5)(6a-5)}}\right)\).

Заметим, что \((6a + 5)(6a - 5)\) в числителе и знаменателе сокращаются. В результате получаем:

\[-10a\]

Таким образом, значение выражения \(a(36a^2 - 25)\left(\frac{1}{{6a+5}} - \frac{1}{{6a-5}}\right)\) равно \(-10a\).