Какое значение m следует использовать, чтобы вектор с{m; 0; -2} можно было разложить по векторам a{1; 3; 4} и b{-2

Лунный_Ренегат_7656

44

Для того чтобы вектор \(\mathbf{c} = \begin{pmatrix} m \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) можно было разложить по векторам \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\), необходимо, чтобы вектор \(\mathbf{c}\) был линейной комбинацией векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

Это означает, что существуют такие коэффициенты \(x\) и \(y\), что \(\mathbf{c} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b}\).

Распишем это уравнение:

\[\begin{pmatrix} m \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\]

Поэлементно это уравнение можно записать как систему трех линейных уравнений:

\[m = x - 2y\]
\[0 = 3x + 5y\]
\[-2 = 4x + 6y\]

Для нахождения значения \(m\) и коэффициентов \(x\) и \(y\), решим данную систему уравнений методом подстановки или методом Гаусса. Возьмем метод подстановки для этого примера.

Из первого уравнения выразим \(x\):
\[x = m + 2y\]

Подставим это значение \(x\) во второе и третье уравнения:

\[0 = 3(m + 2y) + 5y\]
\[-2 = 4(m + 2y) + 6y\]

Раскроем скобки и упростим:

\[0 = 3m + 6y + 5y\]
\[-2 = 4m + 8y + 6y\]

Сгруппируем коэффициенты при \(y\):

\[0 = 3m + 11y\]
\[-2 = 4m + 14y\]

Из первого уравнения выразим \(y\):
\[y = -\frac{3m}{11}\]

Подставим это значение \(y\) во второе уравнение:

\[-2 = 4m + 14\left(-\frac{3m}{11}\right)\]

Раскроем скобки и упростим:

\[-2 = 4m - \frac{42m}{11}\]

Скомбинируем члены с переменной \(m\):

\[-2 = \frac{44m}{11} - \frac{42m}{11}\]
\[-2 = \frac{2m}{11}\]

Умножим обе части уравнения на 11:

\[-22 = 2m\]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[-11 = m\]

Таким образом, значения \(m = -11\), \(x = -11 + 2y\) и \(y = -\frac{3m}{11}\) обеспечат разложение вектора \(\mathbf{c}\) по векторам \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).