Какое значение многочлена является наибольшим или наименьшим? а)х^2+2х-101 б)4х^2+8х+50 в)-х^2+2х+102 г)-р^2+10р-104

Донна

45

Для решения этой задачи нам необходимо определить минимальное или максимальное значение для каждого из данных многочленов.

а) Многочлен \(х^2+2х-101\) не имеет реальных корней, так как дискриминант отрицательный. Однако, мы можем применить формулу вершины параболы, чтобы найти минимальное или максимальное значение. Формула вершины параболы имеет вид: \(х_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты при \(х\) в многочлене. В нашем случае, \(a = 1\) и \(b = 2\). Подставим значения и найдем вершину параболы:
\[х_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\]
Теперь, чтобы определить, является ли это минимальным или максимальным значением, мы можем заменить \(х\) на значение вершины и посмотреть, какое значение получится:
\[(-1)^2 + 2(-1) - 101 = 1 - 2 - 101 = -102\]
Таким образом, минимальное значение многочлена \(х^2+2х-101\) равно -102.

б) Многочлен \(4х^2+8х+50\) является параболой с положительным ведущим коэффициентом (\(4\)), а это означает, что его график открывается вверх. Положим \(y = 4х^2+8х+50\) и попытаемся найти его минимальное значение. Поскольку парабола открывается вверх, то у нее не существует минимального значения. Мы можем использовать формулу вершины параболы (\(х_0 = -\frac{b}{2a}\)), чтобы найти координаты вершины параболы. В данном случае, \(a = 4\) и \(b = 8\), поэтому:
\[х_0 = -\frac{8}{2\cdot4} = -1\]
Теперь, чтобы найти соответствующее значение \(y\), мы можем подставить \(х = -1\) в многочлен:
\[y = 4(-1)^2+8(-1)+50 = 4 - 8 + 50 = 46\]
Таким образом, нам удается определить, что минимальное значение многочлена \(4х^2+8х+50\) равно 46.

в) Многочлен \(-х^2+2х+102\) также является параболой с отрицательным ведущим коэффициентом (\(-1\)), поэтому его график открывается вниз. Аналогично предыдущему шагу, мы можем использовать формулу вершины параболы (\(х_0 = -\frac{b}{2a}\)) для определения координат вершины параболы. В данном случае, \(a = -1\) и \(b = 2\):
\[х_0 = -\frac{2}{2\cdot(-1)} = 1\]
Подставим \(х = 1\) в многочлен, чтобы найти соответствующее значение \(y\):
\[y = -(1)^2 + 2(1) + 102 = -1 + 2 + 102 = 103\]
Таким образом, мы можем сказать, что максимальное значение многочлена \(-х^2+2х+102\) равно 103.

г) Многочлен \(-р^2+10р-104\) также является параболой с отрицательным ведущим коэффициентом (\(-1\)), поэтому его график открывается вниз. Аналогично первым двум пунктам, мы можем использовать формулу вершины параболы (\(р_0 = -\frac{b}{2a}\)) для нахождения координат вершины параболы. В данном случае, \(a = -1\) и \(b = 10\):
\[р_0 = -\frac{10}{2\cdot(-1)} = 5\]
Подставим \(р = 5\) в многочлен, чтобы найти соответствующее значение \(y\):
\[y = -(5)^2 + 10(5) - 104 = -25 + 50 - 104 = -79\]
Таким образом, мы можем утверждать, что максимальное значение многочлена \(-р^2+10р-104\) составляет -79.

д) Многочлен \(р^2+2рq+2q^2+4q+404\) аналогично предыдущим примерам не является параболой. Он является квадратным трехчленом, который не имеет вершину. Таким образом, мы не можем найти минимальное или максимальное значение этого многочлена на основе его графика.