Какое значение н нужно взять, чтобы сумма 1+1/22+1/32+…+1/n2 была больше 1000? Можно ли достичь этого с помощью

Sokol

36

Для решения этой задачи, нам нужно найти значение \( n \), при котором сумма \(\displaystyle 1+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+...\dfrac{1}{n^{2}}\) превысит 1000.

Давайте вычислим эту сумму для некоторых значений \( n \), предложенных в задаче.

Для \( n = 1000 \) мы можем использовать формулу суммы первых \( n \) членов знаменитого ряда, который называется гармоническим рядом. В нем сумма всех членов обратно пропорциональна их номерам:

\(\displaystyle \sum _{ k=1 }^{ n }{ \dfrac{1}{k^{2}} } =\dfrac{\pi ^{2}}{6}\)

Для \( n = 1000 \) мы получим:

\(\displaystyle 1+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+...\dfrac{1}{1000^{2}}\approx 1.64393\)

Как видите, это значение ниже 1000.

Для \( n = 2000 \) мы получаем:

\(\displaystyle 1+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+...\dfrac{1}{2000^{2}}\approx 1.64393\)

Опять же, это значение ниже 1000.

Повторим эти вычисления для оставшихся значений.

Для \( n = 2500 \):

\(\displaystyle 1+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+...\dfrac{1}{2500^{2}}\approx 1.64393\)

Для \( n = 2998 \):

\(\displaystyle 1+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+...\dfrac{1}{2998^{2}}\approx 1.64393\)

Также для \( n = 21000 \) и \( n = 22000 \) значения суммы будут ниже 1000.

Таким образом, мы видим, что для всех предложенных значений \( n \), сумма не превышает 1000.

Однако, можно заметить, что сумма \( \displaystyle 1+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+...\dfrac{1}{n^{2}} \) с ростом \( n \) стремится к некоторому конечному числу, около 1.64393. То есть, постепенно она приближается к 1.64393, но никогда не превышает 1000.

Таким образом, нет такого значения \( n \), при котором сумма была бы больше 1000.