Какое значение объема производства приведет к максимальной прибыли фирмы, если прибыль зависит от объема производства

Вечная_Зима

10

Для нахождения значения объема производства, при котором фирма получит максимальную прибыль, нужно найти вершину параболы, заданной уравнением \(y = -x³ + 21x² - 72x - 150\)

Предположим, что парабола y является функцией одной переменной x, где x представляет собой объем производства, а y - прибыль фирмы.

1. Первым шагом найдем первую производную функции \(y" = \frac{{dy}}{{dx}}\) для определения точки экстремума, где производная равна нулю или не существует.

\[
y" = \frac{{d(-x³ + 21x² - 72x - 150)}}{{dx}}
\]

Для вычисления производной функции, применим правила дифференцирования. Получим:

\[y" = -3x² + 42x - 72\]

2. Решим уравнение \(y" = 0\) для поиска точек экстремума:

\[
-3x² + 42x - 72 = 0
\]

Можно попытаться решить это квадратное уравнение, но проще всего воспользоваться формулой дискриминанта:

\[
D = b² - 4ac
\]

где a = -3, b = 42 и c = -72.

Вычислим значение дискриминанта:

\[
D = 42² - 4(-3)(-72) = 42² - 4 × 3 × 72 = 1764 - 864 = 900
\]

3. Рассмотрим значения дискриминанта:

- Если \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, и точки экстремума будут являться точками минимума и максимума.
- Если \(D = 0\), уравнение имеет одно решение, и это будет точка экстремума.
- Если \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней, и точек экстремума не существует.

В нашем случае, \(D = 900 > 0\), следовательно, у нас будет две точки экстремума.

4. Для определения, какая из этих двух точек экстремума соответствует максимальной прибыли, можно проанализировать значением коэффициента при \(x²\) в исходном уравнении.

Исходное уравнение имеет вид \(y = -x³ + 21x² - 72x - 150\).

Коэффициент при \(x²\) равен 21. Положительный коэффициент говорит нам о том, что парабола имеет <<вогнутость>> вверх.

5. Теперь найдем значение x для вершины параболы, чтобы определить точку максимальной прибыли. Для этого воспользуемся формулой:

\[
x = -\frac{b}{2a}
\]

В нашем случае, a = -3 и b = 42:

\[
x = -\frac{42}{2(-3)} = -\frac{42}{-6} = 7
\]

Таким образом, значение объема производства, при котором фирма получит максимальную прибыль, равно 7.

Подставляя это значение x обратно в исходное уравнение, мы можем найти соответствующую прибыль y:

\[
y = -7³ + 21 × 7² - 72 × 7 - 150 = -343 + 441 - 504 - 150 = -556
\]

Таким образом, максимальная прибыль, достигаемая при объеме производства равном 7, составляет -556. Так как прибыль отрицательная, возможно это указывает на убыточность фирмы. Однако, без знания контекста, сложно сделать окончательные выводы.